решите уравнение. сколько корней имеет уравнение? найдите произведение корней уравнения.
Для решения уравнения:
\[ \frac{8y - 5}{y} - \frac{9y}{y + 2} = 0 \]
выполним следующие шаги:
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей будет произведением \( y \) и \( y + 2 \). Поэтому уравнение становится:
\[ \frac{(8y - 5)(y + 2) - 9y \cdot y}{y(y + 2)} = 0 \]
Шаг 2: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:
\[ (8y - 5)(y + 2) = 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 8y^2 + 11y - 10 \]
Числитель теперь:
\[ 8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = -y^2 + 11y - 10 \]
Шаг 3: Уравнение для числителя
Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо обнуление числителя:
\[ -y^2 + 11y - 10 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Уравнение имеет вид:
\[ -y^2 + 11y - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 11y + 10 = 0 \]
Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 10\).
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 \]
Так как дискриминант положителен, у квадратного уравнения два корня:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{11 \pm 9}{2} \]
Получаем два корня:
\[ y_1 = \frac{11 + 9}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{11 - 9}{2} = 1 \]
Шаг 5: Проверка условий существования
Поскольку знаменатели не должны быть равны нулю, числа \( y \neq 0 \) и \( y \neq -2 \) не удовлетворяют условиям.
Оба корня \( y_1 = 10 \) и \( y_2 = 1 \) удовлетворяют этим условиям.
Шаг 6: Найти произведение корней
Произведение корней квадратного уравнения \( y^2 - 11y + 10 = 0 \) равно \( \frac{c}{a} = 10 \).
Ответ
У уравнения два корня: \( y = 10 \) и \( y = 1 \). Произведение корней равно 10.
