Для решения уравнения:
[ \frac{8y - 5}{y} - \frac{9y}{y + 2} = 0 ]
выполним следующие шаги:
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей будет произведением ( y ) и ( y + 2 ). Поэтому уравнение становится:
[
\frac{(8y - 5)(y + 2) - 9y \cdot y}{y(y + 2)} = 0
]
Шаг 2: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:
[
(8y - 5)(y + 2) = 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 8y^2 + 11y - 10
]
Числитель теперь:
[
8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = -y^2 + 11y - 10
]
Шаг 3: Уравнение для числителя
Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо обнуление числителя:
[
-y^2 + 11y - 10 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Уравнение имеет вид:
[
-y^2 + 11y - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 11y + 10 = 0
]
Коэффициенты: (a = 1), (b = -11), (c = 10).
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81
]
Так как дискриминант положителен, у квадратного уравнения два корня:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{11 \pm 9}{2}
]
Получаем два корня:
[
y_1 = \frac{11 + 9}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{11 - 9}{2} = 1
]
Шаг 5: Проверка условий существования
Поскольку знаменатели не должны быть равны нулю, числа ( y \neq 0 ) и ( y \neq -2 ) не удовлетворяют условиям.
Оба корня ( y_1 = 10 ) и ( y_2 = 1 ) удовлетворяют этим условиям.
Шаг 6: Найти произведение корней
Произведение корней квадратного уравнения ( y^2 - 11y + 10 = 0 ) равно ( \frac{c}{a} = 10 ).
Ответ
У уравнения два корня: ( y = 10 ) и ( y = 1 ).
Произведение корней равно 10.
