Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Дано уравнение:
[ x^2 - 12x + 24 = 0 ]
Корни уравнения:
По условию, ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения. Используем теорему Виета, которая говорит, что сумма корней квадратного уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) равна (-\frac{b}{a}), а произведение — (\frac{c}{a}).
Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = 12
]
Произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = 24
]
Нам нужно найти численное значение выражения:
[
576 \left(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\right)
]
Упростим выражение:
[
\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2}
]
Используя формулу ((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2), найдём (x_1^2 + x_2^2):
[
(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2
]
[
12^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 \times 24
]
[
144 = x_1^2 + x_2^2 + 48
]
[
x_1^2 + x_2^2 = 144 - 48 = 96
]
Теперь подставим это в выражение:
[
\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{96}{24^2} = \frac{96}{576}
]
Теперь вычисляем:
[
576 \times \frac{96}{576} = 96
]
Таким образом, численное значение выражения равно 96.
