дано уравнение икс во 2 степени, - 12 икс + 24 равно нулю. икс-1. , икс-2. его корни. чему равно численное значение выражения?
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Дано уравнение:
\[ x^2 - 12x + 24 = 0 \]
Корни уравнения:
По условию, \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения. Используем теорему Виета, которая говорит, что сумма корней квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение — \(\frac{c}{a}\).
Сумма корней:
\[ x_1 + x_2 = 12 \]
Произведение корней:
\[ x_1 \cdot x_2 = 24 \]
Нам нужно найти численное значение выражения:
\[ 576 \left(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\right) \]
Упростим выражение:
\[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 \cdot x_2)^2} \]
Используя формулу \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2\), найдём \(x_1^2 + x_2^2\):
\[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2 \]
\[ 12^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 \times 24 \]
\[ 144 = x_1^2 + x_2^2 + 48 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = 144 - 48 = 96 \]
Теперь подставим это в выражение:
\[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{96}{24^2} = \frac{96}{576} \]
Теперь вычисляем:
\[ 576 \times \frac{96}{576} = 96 \]
Таким образом, численное значение выражения равно 96.
