Для решения задачи начнем с рассмотрения прямоугольника, вписанного в круг, и его свойств.
Шаг 1: Понимание ситуации
Когда прямоугольник вписан в круг, его диагонали являются диаметрами этого круга. Давайте обозначим:
- ( r ) — радиус круга.
- ( R ) — длина диагонали прямоугольника.
Из основного свойства круга известно, что длина диаметра ( D = 2r ).
Шаг 2: Рассчитываем радиус круга
По условию задачи:
[ r = \frac{71}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} ]
Следовательно, длина диаметра будет равна:
[ D = 2r = 2 \cdot \frac{71}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{142}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} ]
Шаг 3: Определение угла между диагоналями
Угол между диагоналями прямоугольника равен 45 градусов. Это предполагает, что прямоугольник является квадратом, но нам нужно подтвердить это.
Если обозначить стороны прямоугольника за ( a ) и ( b ), то длина диагонали ( R ) вычисляется по формуле:
[ R = \sqrt{a^2 + b^2} ]
Шаг 4: Установка уравнения для угла
Угол между диагоналями ( \theta ) можно связать с сторонами прямоугольника следующим образом:
[ \tan(\theta) = \frac{b}{a} ]
При ( \theta = 45^\circ ):
[ \tan(45^\circ) = 1 \Rightarrow a = b ]
Таким образом, наши стороны равны и прямоугольник является квадратом.
Шаг 5: Выразим сторону квадрата через радиус круга
Так как угол между диагоналями равен 45 градусов, ещё можем записать:
[ a\sqrt{2} = D ]
Следовательно:
[ a = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{142}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}} ]
Шаг 6: Упрощение
Теперь подставим и упростим:
Рассчитываем ( \sqrt{2(2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2}\sqrt{(2 + \sqrt{2})}):
( \sqrt{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} )
Подставим ( a ) и уплыньìm:
Так как ( a = \frac{142}{\sqrt{2}\sqrt{2 + \sqrt{2}}} ):
- Вычисляем:
[ a = \frac{142}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]
[ a = 71 ]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, большую сторону прямоугольника (так как он является квадратом) равна ( 71 ).
Итак, большая сторона прямоугольника равна 71.
