Какова вероятность того. что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза?
Для решения задачи о вероятности того, что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза, мы можем использовать математическую статистику и формулам биномиального распределения.
Шаги решения:
Определим параметры задачи.
- Бросаем игральную кость 10 раз, то есть \( n = 10 \).
- Вероятность выпадения 3 очков при одном броске (успех) равна \( p = \frac{1}{6} \), так как на игральной кости одна грань с числом 3.
- Вероятность не выпасть 3 очка \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
- Мы ищем вероятность того, что 3 очка выпало 2 раза, то есть \( k = 2 \).
Используем формулу биномиального распределения. Вероятность того, что успех произойдет ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, определяется формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Вычислим необходимые значения.
- Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(10, 2) \):
\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \]
- Теперь найдем \( p^k \) и \( q^{n-k} \):
\[ p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
\[ q^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{10-2} = \left(\frac{5}{6}\right)^8 \]
Для вычисления \( \left(\frac{5}{6}\right)^8 \) определим его значение:
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0.232 \]
Теперь подставим все известные значения в формулу:
\[ P(X = 2) = C(10, 2) \cdot p^2 \cdot q^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8 \]
Мы уже знаем \( C(10, 2) = 45 \) и \( p^2 = \frac{1}{36} \), подставим:
\[ P(X = 2) = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot 0.232 \approx 0.29 \]
Заключение. Вероятность того, что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза, составляет примерно 0.29 или 29%.
Если будут вопросы или потребуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
