Х/х-2+5/х=4

Давай разберем данное уравнение шаг за шагом. Имеем уравнение: \[ \frac{x}{x-2} + \frac{5}{x} = 4 \] ### Шаг 1: Найдем общий знаменатель Чтобы сложить дроби, необходимо найти общий знаменатель. В данном случае общий знаменатель — это \(x(x-2)\). ### Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю Теперь перепишем обе дроби с общим знаменателем: \[ \frac{x^2}{x(x-2)} + \frac{5(x-2)}{x(x-2)} = 4 \] Теперь мы можем упростить это уравнение: \[ \frac{x^2 + 5(x-2)}{x(x-2)} = 4 \] ### Шаг 3: Упростим числитель Упрощаем числитель: \[ x^2 + 5(x-2) = x^2 + 5x - 10 \] Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ \frac{x^2 + 5x - 10}{x(x-2)} = 4 \] ### Шаг 4: Умножим обе стороны на \(x(x-2)\) Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на \(x(x-2)\) (предполагаем, что \(x \neq 0\) и \(x \neq 2\)): \[ x^2 + 5x - 10 = 4x(x-2) \] ### Шаг 5: Раскроем скобки Раскроем скобки справа: \[ x^2 + 5x - 10 = 4x^2 - 8x \] ### Шаг 6: Переносим все в одну сторону Теперь перенесем все на одну сторону уравнения: \[ x^2 + 5x - 10 - 4x^2 + 8x = 0 \] Сложим подобные: \[ -3x^2 + 13x - 10 = 0 \] Умножим уравнение на -1 для удобства: \[ 3x^2 - 13x + 10 = 0 \] ### Шаг 7: Решим квадратное уравнение Теперь можем решить это квадратное уравнение. Используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. ### Шаг 8: Находим корни Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \(a = 3\), \(b = -13\), \(D = 49\): \[ x = \frac{13 \pm 7}{6} \] Теперь решим для двух случаев: 1. \(x = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\) 2. \(x = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1\) ### Шаг 9: Проверка Проверим оба корня, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль: - Для \(x = \frac{10}{3}\): - \(x - 2 = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}\) (не равно 0) - Значит, корень допустим. - Для \(x = 1\): - \(x - 2 = 1 - 2 = -1\) (не равно 0) - Этот корень тоже допустим. ### Ответ Таким образом, у нас есть два решения: \[ x = \frac{10}{3} \quad \text{и} \quad x = 1 \] Если есть вопросы по какому-либо шагу или нужно подробнее разобрать какой-то момент, дай знать!