х/х-2+5/х=4
Давай разберем данное уравнение шаг за шагом.
Имеем уравнение:
\[ \frac{x}{x-2} + \frac{5}{x} = 4 \]
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Чтобы сложить дроби, необходимо найти общий знаменатель. В данном случае общий знаменатель — это \(x(x-2)\).
Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю
Теперь перепишем обе дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{x^2}{x(x-2)} + \frac{5(x-2)}{x(x-2)} = 4 \]
Теперь мы можем упростить это уравнение:
\[ \frac{x^2 + 5(x-2)}{x(x-2)} = 4 \]
Шаг 3: Упростим числитель
Упрощаем числитель:
\[ x^2 + 5(x-2) = x^2 + 5x - 10 \]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[ \frac{x^2 + 5x - 10}{x(x-2)} = 4 \]
Шаг 4: Умножим обе стороны на \(x(x-2)\)
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на \(x(x-2)\) (предполагаем, что \(x \neq 0\) и \(x \neq 2\)):
\[ x^2 + 5x - 10 = 4x(x-2) \]
Шаг 5: Раскроем скобки
Раскроем скобки справа:
\[ x^2 + 5x - 10 = 4x^2 - 8x \]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону
Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 5x - 10 - 4x^2 + 8x = 0 \]
Сложим подобные:
\[ -3x^2 + 13x - 10 = 0 \]
Умножим уравнение на -1 для удобства:
\[ 3x^2 - 13x + 10 = 0 \]
Шаг 7: Решим квадратное уравнение
Теперь можем решить это квадратное уравнение. Используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
Шаг 8: Находим корни
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения \(a = 3\), \(b = -13\), \(D = 49\):
\[ x = \frac{13 \pm 7}{6} \]
Теперь решим для двух случаев:
- \(x = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\)
- \(x = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
Шаг 9: Проверка
Проверим оба корня, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль:
Для \(x = \frac{10}{3}\):
- \(x - 2 = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}\) (не равно 0)
- Значит, корень допустим.
Для \(x = 1\):
- \(x - 2 = 1 - 2 = -1\) (не равно 0)
- Этот корень тоже допустим.
Ответ
Таким образом, у нас есть два решения:
\[ x = \frac{10}{3} \quad \text{и} \quad x = 1 \]
Если есть вопросы по какому-либо шагу или нужно подробнее разобрать какой-то момент, дай знать!
