Чтобы решить уравнение ( \frac{2}{(x - 7)^2} - \frac{11}{(x - 7)} - 6 = 0 ), начнем с упрощения его. Обозначим ( y = \frac{1}{(x - 7)} ). Это превращает уравнение в более простую форму:
[
2y^2 - 11y - 6 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем уравнении:
- ( a = 2 )
- ( b = -11 )
- ( c = -6 )
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169
]
Теперь подставим значения в формулу для корней:
[
y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 13}{4}
]
Теперь решим для двух случаев:
- ( y_1 = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6 )
- ( y_2 = \frac{11 - 13}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} )
Теперь вернемся к ( x ), используя наши значения ( y ):
Если ( y = 6 ):
[
\frac{1}{x - 7} = 6 \implies x - 7 = \frac{1}{6} \implies x = 7 + \frac{1}{6} = \frac{43}{6}
]
Если ( y = -\frac{1}{2} ):
[
\frac{1}{x - 7} = -\frac{1}{2} \implies x - 7 = -2 \implies x = 5
]
Таким образом, мы получили два решения для уравнения:
[
x_1 = \frac{43}{6}, \quad x_2 = 5
]
Итоговый ответ:
Корни уравнения: ( x = \frac{43}{6} ) и ( x = 5 ).
