Решите уравнение 2 / (x - 7)² - 11 / (x - 7) - 6 = 0
Чтобы решить уравнение \( \frac{2}{(x - 7)^2} - \frac{11}{(x - 7)} - 6 = 0 \), начнем с упрощения его. Обозначим \( y = \frac{1}{(x - 7)} \). Это превращает уравнение в более простую форму:
\[ 2y^2 - 11y - 6 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем уравнении:
- \( a = 2 \)
- \( b = -11 \)
- \( c = -6 \)
Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 \]
Теперь подставим значения в формулу для корней:
\[ y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 13}{4} \]
Теперь решим для двух случаев:
- \( y_1 = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6 \)
- \( y_2 = \frac{11 - 13}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
Теперь вернемся к \( x \), используя наши значения \( y \):
Если \( y = 6 \): \[ \frac{1}{x - 7} = 6 \implies x - 7 = \frac{1}{6} \implies x = 7 + \frac{1}{6} = \frac{43}{6} \]
Если \( y = -\frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{x - 7} = -\frac{1}{2} \implies x - 7 = -2 \implies x = 5 \]
Таким образом, мы получили два решения для уравнения:
\[ x_1 = \frac{43}{6}, \quad x_2 = 5 \]
Итоговый ответ:
Корни уравнения: \( x = \frac{43}{6} \) и \( x = 5 \).
