Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу.

Чтобы решить задачу, давайте используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.

1. Понимание задачи:
   У нас есть прямоугольный треугольник, один из углов равен 60 градусам. Напомним, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180 градусам, один угол равен 90, а второй угол, соответственно, будет 30 градусов (180 - 90 - 60 = 30).

2. Назначение сторон:
   Обозначим:

   • \( a \) — меньший катет (катет напротив 30 градусов),
   • \( b \) — больший катет (катет напротив 60 градусов),
   • \( c \) — гипотенуза.

   Из задачи известно, что \( c - a = 15 \) см (разность гипотенузы и меньшего катета).

3. Вычисление катетов через гипотенузу:
   В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов и 60 градусов, можно записать следующие соотношения:

   • \( a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \),
   • \( b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

   Теперь можем выразить меньший катет через гипотенузу: \[ a = \frac{c}{2}. \]

4. Подставим в уравнение:
   Подставим \( a \) в уравнение \( c - a = 15 \): \[ c - \frac{c}{2} = 15. \]

   Упростим это уравнение: \[ \frac{c}{2} = 15. \]

   Умножим обе стороны на 2: \[ c = 30. \]

5. Проверка и вывод:
   Мы нашли, что гипотенуза \( c = 30 \) см. Теперь можно найти меньший катет \( a \): \[ a = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}. \]

   Проверим разность: \[ c - a = 30 - 15 = 15 \text{ см} \text{ (что совпадает с условием задачи)}. \]

Таким образом, гипотенуза равна 30 см.