F(x)=2x1-x2→min. x1+x2>=4 -x1+2x2<=2 x1+2x2<=10 x1>=0 x2>=0. Реши ЗЛП графическим методом

Для решения задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом, давайте подробно разберем все шаги. ### Шаг 1: Определение функций и условий #### Целевая функция Мы имеем целевую функцию: \[ F(x) = 2x_1 - x_2 \] Мы хотим минимизировать эту функцию. #### Ограничения Существует несколько ограничений: 1. \( x_1 + x_2 \geq 4 \) 2. \( -x_1 + 2x_2 \leq 2 \) 3. \( x_1 + 2x_2 \leq 10 \) 4. \( x_1 \geq 0 \) 5. \( x_2 \geq 0 \) ### Шаг 2: Преобразование ограничений Для графического решения нам нужно привести все неравенства к равенствам, чтобы найти границы площадки решения. 1. **Первое ограничение:** \( x_1 + x_2 = 4 \) Это прямая, проходящая через точки (4,0) и (0,4). 2. **Второе ограничение:** \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) Можно переписать как \( x_1 = 2x_2 - 2 \). Прямая проходит через точки (0, 1) и (2, 0). 3. **Третье ограничение:** \( x_1 + 2x_2 = 10 \) Это прямая, проходящая через точки (10,0) и (0,5). ### Шаг 3: Построение графика На координатной плоскости построим все прямые, соответствующие каждой из равенств: 1. Прямая \( x_1 + x_2 = 4 \) (синий) 2. Прямая \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) (зеленый) 3. Прямая \( x_1 + 2x_2 = 10 \) (красный) Затем мы отмечаем область, удовлетворяющую всем ограничениям. Эта область будет ограниченой и называется "областью допустимых решений". ### Шаг 4: Находим область допустимых решений - Отметим, что для \( x_1 + x_2 \geq 4 \) область находится выше и на линии. - Для \( -x_1 + 2x_2 \leq 2 \) область ниже и на линии. - Для \( x_1 + 2x_2 \leq 10 \) область ниже и на линии. - Кроме того, \( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \) ограничивают наше решение правым верхним квадратом. ### Шаг 5: Находим угловые точки Найдем пересечения линий, чтобы определить угловые точки области: 1. Пересечение линий \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( -x_1 + 2x_2 = 2 \): - \( x_1 + x_2 = 4 \) - \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) Вводим туда значение \( x_1 = 4 - x_2 \) в второе уравнение: \[ -(4 - x_2) + 2x_2 = 2 \\ -4 + 3x_2 = 2 \\ 3x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 2, \\ x_1 = 4 - 2 = 2. \] Точка А(2, 2). 2. Пересечение линий \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): - \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) - \( x_1 + 2x_2 = 10 \) Умножим первое на -1: \[ x_1 - 2x_2 = -2 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \] Сложим оба уравнения: \[ 2x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = 4 \\ 4 + 2x_2 = 10 \Rightarrow 2x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 3. \] Точка Б(4, 3). 3. Пересечение линий \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): \[ x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \] Из первого уравнения выразим \( x_2 = 4 - x_1 \): \[ x_1 + 2(4 - x_1) = 10 \\ x_1 + 8 - 2x_1 = 10 \\ -x_1 = 2 \Rightarrow x_1 = -2 (не годится). \] ### Шаг 6: Значения целевой функции в угловых точках Теперь подставим найденные точки в целевую функцию \( F(x) = 2x_1 - x_2 \): 1. Для точки А(2, 2): \[ F(2, 2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2. \] 2. Для точки Б(4, 3): \[ F(4, 3) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5. \] ### Шаг 7: Определение оптимального решения Сравниваем значения: - Точка А(2, 2) дает \( F = 2 \). - Точка Б(4, 3) дает \( F = 5 \). Минимальное значение достигается в точке **А(2, 2)** и равно **2**. ### Ответ Оптимальное решение задачи: минимальное значение функции \( F = 2 \), при \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 2 \).