F(x)=2x1-x2→min. x1+x2>=4 -x1+2x2<=2 x1+2x2<=10 x1>=0 x2>=0. Реши ЗЛП графическим методом

Для решения задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом, давайте подробно разберем все шаги.

Шаг 1: Определение функций и условий

Целевая функция

Мы имеем целевую функцию: \[ F(x) = 2x_1 - x_2 \] Мы хотим минимизировать эту функцию.

Ограничения

Существует несколько ограничений:

1. \( x_1 + x_2 \geq 4 \)
2. \( -x_1 + 2x_2 \leq 2 \)
3. \( x_1 + 2x_2 \leq 10 \)
4. \( x_1 \geq 0 \)
5. \( x_2 \geq 0 \)

Шаг 2: Преобразование ограничений

Для графического решения нам нужно привести все неравенства к равенствам, чтобы найти границы площадки решения.

1. Первое ограничение:
   \( x_1 + x_2 = 4 \)
   Это прямая, проходящая через точки (4,0) и (0,4).

2. Второе ограничение:
   \( -x_1 + 2x_2 = 2 \)
   Можно переписать как \( x_1 = 2x_2 - 2 \).
   Прямая проходит через точки (0, 1) и (2, 0).

3. Третье ограничение:
   \( x_1 + 2x_2 = 10 \)
   Это прямая, проходящая через точки (10,0) и (0,5).

Шаг 3: Построение графика

На координатной плоскости построим все прямые, соответствующие каждой из равенств:

1. Прямая \( x_1 + x_2 = 4 \) (синий)
2. Прямая \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) (зеленый)
3. Прямая \( x_1 + 2x_2 = 10 \) (красный)

Затем мы отмечаем область, удовлетворяющую всем ограничениям. Эта область будет ограниченой и называется "областью допустимых решений".

Шаг 4: Находим область допустимых решений

• Отметим, что для \( x_1 + x_2 \geq 4 \) область находится выше и на линии.
• Для \( -x_1 + 2x_2 \leq 2 \) область ниже и на линии.
• Для \( x_1 + 2x_2 \leq 10 \) область ниже и на линии.
• Кроме того, \( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \) ограничивают наше решение правым верхним квадратом.

Шаг 5: Находим угловые точки

Найдем пересечения линий, чтобы определить угловые точки области:

1. Пересечение линий \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( -x_1 + 2x_2 = 2 \):

   • \( x_1 + x_2 = 4 \)
   • \( -x_1 + 2x_2 = 2 \)

   Вводим туда значение \( x_1 = 4 - x_2 \) в второе уравнение: \[ -(4 - x_2) + 2x_2 = 2 \\ -4 + 3x_2 = 2 \\ 3x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 2, \\ x_1 = 4 - 2 = 2. \]

   Точка А(2, 2).

2. Пересечение линий \( -x_1 + 2x_2 = 2 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \):

   • \( -x_1 + 2x_2 = 2 \)
   • \( x_1 + 2x_2 = 10 \)

   Умножим первое на -1: \[ x_1 - 2x_2 = -2 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \]

   Сложим оба уравнения: \[ 2x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = 4 \\ 4 + 2x_2 = 10 \Rightarrow 2x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 3. \]

   Точка Б(4, 3).

3. Пересечение линий \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 + 2x_2 = 10 \): \[ x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 + 2x_2 = 10 \]

   Из первого уравнения выразим \( x_2 = 4 - x_1 \): \[ x_1 + 2(4 - x_1) = 10 \\ x_1 + 8 - 2x_1 = 10 \\ -x_1 = 2 \Rightarrow x_1 = -2 (не годится). \]

Шаг 6: Значения целевой функции в угловых точках

Теперь подставим найденные точки в целевую функцию \( F(x) = 2x_1 - x_2 \):

1. Для точки А(2, 2): \[ F(2, 2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2. \]

2. Для точки Б(4, 3): \[ F(4, 3) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5. \]

Шаг 7: Определение оптимального решения

Сравниваем значения:

• Точка А(2, 2) дает \( F = 2 \).
• Точка Б(4, 3) дает \( F = 5 \).

Минимальное значение достигается в точке А(2, 2) и равно 2.

Ответ

Оптимальное решение задачи: минимальное значение функции \( F = 2 \), при \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 2 \).