f(x)=1/x^2+1. исследуйте функцию на монотонность и экстремум

Для исследования функции \( f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 \) на монотонность и экстремумы, следуем определённой последовательности шагов.

Шаг 1: Определяем область определения функции

Функция \( f(x) \) определена для всех \( x \), кроме нуля, так как в нуле происходит деление на ноль. Таким образом, область определения: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]

Шаг 2: Находим производную функции

Для изучения монотонности, необходимо найти первую производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) \]

Используем правило дифференцирования дроби: \[ f'(x) = -\frac{2}{x^3} \]

Шаг 3: Исследуем знак производной

Теперь необходимо определить, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого анализируем \( f'(x) \):

1. \( f'(x) < 0 \) когда \( x > 0 \) (так как \( x^3 > 0 \)).
2. \( f'(x) > 0 \) когда \( x < 0 \) (так как \( x^3 < 0 \)).

Это говорит о том, что:

• Функция возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \).
• Функция убывает на интервале \( (0, +\infty) \).

Шаг 4: Находим критические точки

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. В данном случае: \[ f'(x) = -\frac{2}{x^3} \text{ никогда не равна нулю} \] Но она не определена в \( x = 0 \).

Это значение \( x = 0 \) — точка, в которой меняется монотонность.

Шаг 5: Исследуем экстремумы

Поскольку значений функции в ноль нет, мы проверяем значения функции в точках, близких к нулю:

• При \( x \to 0^- \) (слева от нуля): \( f(x) \to +\infty \)
• При \( x \to 0^+ \) (справа от нуля): \( f(x) \to +\infty \)

Таким образом, в точке \( x = 0 \) функция не имеет минимума или максимума, но ведет себя как вертикальная асимптота.

Шаг 6: Поведение функции на интервалах

• На интервале \( (-\infty, 0) \) функция возрастает и стремится к \( +\infty \) при приближении к \( 0 \).
• На интервале \( (0, +\infty) \) функция убывает и также стремится к \( +\infty \).

Вывод

Таким образом, функция \( f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 \) имеет следующие характеристики:

• Монотонность:

  • Возрастает на \( (-\infty, 0) \)
  • Убывает на \( (0, +\infty) \)

• Экстремумы:

  • Нет локальных экстремумов, но функции стремится к бесконечности при приближении к нулю с обеих сторон.

Эти анализы дают полное понимание поведения данной функции. Если нужны дополнительные детали, например, графическое представление, дайте знать!