F(x)=1/x^2+1. исследуйте функцию на монотонность и экстремум

Для исследования функции \( f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 \) на монотонность и экстремумы, следуем определённой последовательности шагов. ### Шаг 1: Определяем область определения функции Функция \( f(x) \) определена для всех \( x \), кроме нуля, так как в нуле происходит деление на ноль. Таким образом, область определения: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \] ### Шаг 2: Находим производную функции Для изучения монотонности, необходимо найти первую производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) \] Используем правило дифференцирования дроби: \[ f'(x) = -\frac{2}{x^3} \] ### Шаг 3: Исследуем знак производной Теперь необходимо определить, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого анализируем \( f'(x) \): 1. \( f'(x) < 0 \) когда \( x > 0 \) (так как \( x^3 > 0 \)). 2. \( f'(x) > 0 \) когда \( x < 0 \) (так как \( x^3 < 0 \)). Это говорит о том, что: - Функция возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \). - Функция убывает на интервале \( (0, +\infty) \). ### Шаг 4: Находим критические точки Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена. В данном случае: \[ f'(x) = -\frac{2}{x^3} \text{ никогда не равна нулю} \] Но она не определена в \( x = 0 \). Это значение \( x = 0 \) — точка, в которой меняется монотонность. ### Шаг 5: Исследуем экстремумы Поскольку значений функции в ноль нет, мы проверяем значения функции в точках, близких к нулю: - При \( x \to 0^- \) (слева от нуля): \( f(x) \to +\infty \) - При \( x \to 0^+ \) (справа от нуля): \( f(x) \to +\infty \) Таким образом, в точке \( x = 0 \) функция не имеет минимума или максимума, но ведет себя как вертикальная асимптота. ### Шаг 6: Поведение функции на интервалах - На интервале \( (-\infty, 0) \) функция возрастает и стремится к \( +\infty \) при приближении к \( 0 \). - На интервале \( (0, +\infty) \) функция убывает и также стремится к \( +\infty \). ### Вывод Таким образом, функция \( f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 \) имеет следующие характеристики: - Монотонность: - Возрастает на \( (-\infty, 0) \) - Убывает на \( (0, +\infty) \) - Экстремумы: - Нет локальных экстремумов, но функции стремится к бесконечности при приближении к нулю с обеих сторон. Эти анализы дают полное понимание поведения данной функции. Если нужны дополнительные детали, например, графическое представление, дайте знать!