.

Чтобы объяснить решение задач, начнем с каждой по порядку.

Задачи 9 и 10

Задача 9

Упростим выражение:

\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{b} + \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \sqrt{a} \]

Для упрощения, поместим под общий корень:

\[ = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b}} + \sqrt{\frac{b \cdot a}{a}} \]

Так как \(a\) и \(b\) не равны нулю, получаем:

\[ = \sqrt{a} + \sqrt{b} \]

Таким образом, выражение равно \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Задача 10

Подобным образом упростим:

\[ 3\cdot \sqrt{7x} - x\cdot \sqrt{28} \]

Используем \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}\):

\[ 3\cdot \sqrt{7x} - x\cdot 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7x} - 2x\sqrt{7} \]

Вынесем \(\sqrt{7}\) за скобки:

\[ = \sqrt{7} (3\sqrt{x} - 2x) \]

Задача 122

Задача: Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Вторая труба заполняет бассейн за 5 минут. Если общий объём бассейна 105 литров, разница в скорости наполнения 4 минуты, найдите скорость пропускной способности первой трубы.

Решение:

Обозначим скорость второй трубы за \(x\). Тогда скорость первой трубы равна \(x - 16\).

Для второй трубы:
5 минут * \(x\) литров/мин = 105 литров,
следовательно, \(5x = 105\).

Решим уравнение: \[ x = \frac{105}{5} = 21 \]

Скорость первой трубы: \[ x - 16 = 21 - 16 = 5 \text{ литров в минуту} \]

Задача 31

Задача: Дана биссектриса \(BM\) треугольника \(ABC\). \(AC:CB = 7:10\). Найдите отношение площадей треугольников \(AKM\) и \(BKM\).

Решение:

Пусть \(AK = 7k\) и \(KB = 10k\). Площадь треугольника пропорциональна длине основания при постоянной высоте. Рассмотрим точку \(K\):

Если \(BM\) биссектриса, то \(AK:KB = 7:10\).

\[ \text{Площадь } \triangle AKM : \triangle BKM = \frac{AK}{KB} = \frac{7}{10} \]

Таким образом, отношение площадей равно \(7:10\).

Если есть вопросы или нужен более детальный разбор, дайте знать!