Реши все что на картинке

Давайте разберем задачи по порядку:

1. Укажите номера верных ответов к заданиям 1-2, записав условие

1.1. KMNP — параллелограмм. Укажите вектор, равный сумме векторов \( \overrightarrow{MK} \) и \( \overrightarrow{MN} \).

Для параллелограмма справедливо, что сумма векторов от одной вершины к двум другим противоположным вершинам равна вектору, который идет от этой вершины к четвёртой вершине фигуры: \[ \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} \]

Ответ: \( \overrightarrow{MP} \).

1.2. На рисунке ABCD — прямоугольник. Укажите верные равенства:

• Прямоугольник: стороны параллельны и равны по длине, и диагонали равны.
  • \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \)
  • \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \)
  • Поскольку диагонали равны: \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \)

Расписываем верные:

• \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \)
• \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \)

2. Найдите координаты и длину вектора \(\mathbf{c}\), если \(\mathbf{c} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} \).

• Координаты вектора \(\mathbf{c}\) равны \( (1, -2) \).
• Длина вектора \(\mathbf{c}\) вычисляется по формуле:
  \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

3. Найти скалярное произведение векторов \(\mathbf{a} = (2, -1)\) и \(\mathbf{b} = (1, 3)\).

• Скалярное произведение (дотяжка): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 2 - 3 = -1 \]

4. Найдите координаты вектора \(\mathbf{a}\), если \(\mathbf{x} = 3\mathbf{a}\) и \(\mathbf{x} = (-4, 5)\).

• Из уравнения: \[ \mathbf{x} = 3\mathbf{a} \implies \mathbf{a} = \left(\frac{-4}{3}, \frac{5}{3}\right) \]

5. Найти значения \(p\), при которых вектора \(\mathbf{a} = (p, 4)\) и \(\mathbf{b} = (1, 2p-3)\):

a) Коллинеарны;
b) Перпендикулярны.

a) Коллинеарность:

• Вектора коллинеарны, если \(\frac{p}{1} = \frac{4}{2p-3}\).
• Решая уравнение \(p(2p - 3) = 4\), получаем: \[ 2p^2 - 3p - 4 = 0 \implies (2p + 1)(p - 4) = 0 \] Решения: \(p = -\frac{1}{2}\) или \(p = 4\).

b) Перпендикулярность:

• Скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = p \cdot 1 + 4 \cdot (2p - 3)\).
• Условие: \(p + 8p - 12 = 0\), \(9p = 12\).
• Решение: \(p = \frac{4}{3}\).