Приведя функцию к виду k - хт (т € Z), найдите производную: а) у = 2x^2 -x; б) у=3/х^2 в) У = 1/ 3х^2 ; г) у= х^2/3
Давайте детально разберем каждый из предложенных случаев и найдем производные указанных функций.
В математике производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении значения переменной (в данном случае переменной \( x \)). Законно считаем, что если у нас есть функция \( y = f(x) \), то производная обозначается как \( f'(x) \) или \( \frac{dy}{dx} \).
а) \( y = 2x^2 - x \)
Формула производной: Для каждого члена функции используем правило: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \).
Находим производную:
- Производная первого члена: \( \frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x \)
- Производная второго члена: \( \frac{d}{dx}(-x) = -1 \)
Складываем результаты:
- \( y' = 4x - 1 \)
Ответ: \( y' = 4x - 1 \)
б) \( y = \frac{3}{x^2} \)
Переписываем функцию: Мы можем переписать \( y \) как \( y = 3x^{-2} \) перед тем как находить производную.
Находим производную:
- Производная: \( \frac{d}{dx}(3x^{-2}) = 3 \cdot (-2)x^{-2-1} = -6x^{-3} \)
Записываем результат:
- \( y' = -\frac{6}{x^3} \)
Ответ: \( y' = -\frac{6}{x^3} \)
в) \( y = \frac{1}{3x^2} \)
Переписываем функцию: \( y = \frac{1}{3} \cdot x^{-2} \)
Находим производную:
- Производная: \( \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^{-2}) = \frac{1}{3} \cdot (-2)x^{-2-1} = -\frac{2}{3}x^{-3} \)
Записываем результат:
- \( y' = -\frac{2}{3x^3} \)
Ответ: \( y' = -\frac{2}{3x^3} \)
г) \( y = x^{2/3} \)
Находим производную:
- Производная: \( \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3} x^{-1/3} \)
Записываем результат:
- \( y' = \frac{2}{3x^{1/3}} \)
Ответ: \( y' = \frac{2}{3x^{1/3}} \)
Итак, итоговые производные для всех функций:
а) \( y' = 4x - 1 \)
б) \( y' = -\frac{6}{x^3} \)
в) \( y' = -\frac{2}{3x^3} \)
г) \( y' = \frac{2}{3x^{1/3}} \)
