Площадь ромба равна 36 см², а одна из его диагоналей в два раза меньше другой. Чему равна сторона ромба?

Чтобы найти сторону ромба, воспользуемся формулой для площади ромба, которая выражается через длины его диагоналей. Формула выглядит так:

\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

где \( S \) — площадь ромба, \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

Дано:

• Площадь ромба \( S = 36 \) см²
• Одна диагональ в два раза меньше другой. Обозначим \( d_1 \) — меньшую диагональ и \( d_2 \) — большую. Тогда можно записать:

\[ d_1 = \frac{1}{2} d_2 \]

Теперь подставим это выражение в формулу для площади:

\[ 36 = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

Подставим \( d_1 = \frac{1}{2} d_2 \):

\[ 36 = \frac{\left(\frac{1}{2} d_2\right) \cdot d_2}{2} \]

Упростим:

\[ 36 = \frac{d_2^2}{4} \]

Теперь умножим обе стороны на 4:

\[ 144 = d_2^2 \]

Теперь найдем \( d_2 \):

\[ d_2 = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Теперь найдем \( d_1 \):

\[ d_1 = \frac{1}{2} d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см} \]

Теперь, когда известны длины диагоналей, можем найти сторону ромба. Сторона \( a \) ромба связана с диагоналями через теорему Пифагора:

\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \]

Подставим значения \( d_1 \) и \( d_2 \):

\[ a = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} \]

Упростим:

\[ a = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \]

Теперь упростим корень:

\[ a = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \]

Таким образом, сторона ромба равна \( 3\sqrt{5} \) см, или приблизительно \( 6.71 \) см.