Решить

Для решения данной задачи используется метод интервалов. У нас есть несколько неравенств, которые нужно решить. ### 1. Решить: \( (x + 4)(x - 9) > 0 \) **Шаг 1: Найти нули линейных множителей.** Уравняем каждый множитель к нулю: - \( x + 4 = 0 \) ⇒ \( x = -4 \) - \( x - 9 = 0 \) ⇒ \( x = 9 \) Эти числа делят числовую прямую на интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, 9)\), \((9, ∞)\). **Шаг 2: Определить знак выражения на каждом интервале.** - На интервале \((-∞, -4)\): Выберем точку \( x = -5 \). \((x + 4)(x - 9) = (-5 + 4)(-5 - 9) = (-1)(-14) > 0\). - На интервале \((-4, 9)\): Выберем точку \( x = 0 \). \((0 + 4)(0 - 9) = 4(-9) < 0\). - На интервале \((9, ∞)\): Выберем точку \( x = 10 \). \((10 + 4)(10 - 9) = 14(1) > 0\). **Шаг 3: Определить ответ.** Неравенство > 0. Решение: \( x \in (-∞, -4) \cup (9, ∞) \). ### 2. Решить: \((-x + 3)(-x + 4)(-x + 10) < 0 \) **Шаг 1: Найти нули линейных множителей.** Уравняем каждый множитель к нулю: - \(-x + 3 = 0\) ⇒ \(x = 3\) - \(-x + 4 = 0\) ⇒ \(x = 4\) - \(-x + 10 = 0\) ⇒ \(x = 10\) Эти числа делят числовую прямую на интервалы: \((-∞, 3)\), \( (3, 4) \), \( (4, 10) \), \( (10, ∞)\). **Шаг 2: Определить знак выражения на каждом интервале.** - На интервале \((-∞, 3)\): Выберем точку \( x = 0 \). \((-0 + 3)(-0 + 4)(-0 + 10) = 3 \cdot 4 \cdot 10 = 120 > 0\). - На интервале \( (3, 4) \): Выберем точку \( x = 3.5 \). \((-3.5 + 3)(-3.5 + 4)(-3.5 + 10) = (-0.5)(0.5)(6.5) < 0\). - На интервале \( (4, 10) \): Выберем точку \( x = 5 \). \((-5 + 3)(-5 + 4)(-5 + 10) = (-2)(-1)(5) > 0\). - На интервале \((10, ∞)\): Выберем точку \( x = 11 \). \((-11 + 3)(-11 + 4)(-11 + 10) = (-8)(-7)(-1) < 0\). **Шаг 3: Определить ответ.** Неравенство < 0. Решение: \( x \in (3,4) \cup (10, ∞) \). ### 3. Решить: \( x^2 < 0 \) Выражение \(x^2\) никогда не будет меньше нуля, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, решений нет. ### 4. Решить: \(-x^2 - 3x - 2 > 0 \) **Шаг 1: Применить метод интервалов.** Поскольку выражение квадратичное, найдем корни: Решаем уравнение: \(-x^2 - 3x - 2 = 0 \). Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(-1)(-2) = 9 - 8 = 1\). Корни: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(-1)} = \frac{3 \pm 1}{-2} \] - \( x_1 = \frac{4}{-2} = -2 \) - \( x_2 = \frac{2}{-2} = -1 \) **Шаг 2: Определить знаки на промежутках.** Интервалы: \((-∞, -2)\), \((-2, -1)\), \((-1, ∞)\). - \( (-∞, -2) \): Для точки \( x = -3 \): \(-(-3)^2 - 3(-3) - 2 = -9 + 9 - 2 = -2 < 0 \) - \( (-2, -1) \): Для точки \( x = -1.5 \): \(-(-1.5)^2 - 3(-1.5) - 2 = -2.25 + 4.5 - 2 = 0.25 > 0 \) - \( (-1, ∞) \): Для точки \( x = 0 \): \(-(0)^2 - 3(0) - 2 = -2 < 0 \). **Шаг 3: Определить ответ.** Неравенство > 0. Решение: \( x \in (-2, -1) \). ### 5. Решить: \(\frac{x+1}{4x+1} > 4 \) **Шаг 1: Преобразовать неравенство.** Преобразуем: \(\frac{x+1}{4x+1} - 4 > 0 \) \(\frac{x+1 - 4(4x+1)}{4x+1} > 0\) \(\frac{x+1 - 16x - 4}{4x+1} > 0\) \(\frac{-15x - 3}{4x+1} > 0\) **Шаг 2: Найти нули числителя и знаменателя.** Числитель: \(-15x - 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5} \). Знаменатель: \(4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}\). **Шаг 3: Найти интервалы.** Интервалы: \((-∞, -\frac{1}{4})\), \((- \frac{1}{4}, -\frac{1}{5})\), \((- \frac{1}{5}, ∞)\). **Шаг 4: Определить знаки на каждом интервале.** - \((-∞, -\frac{1}{4})\): Выберем \( x = -1 \): \(\frac{-15(-1) - 3}{4(-1) + 1} = \frac{15 - 3}{-3} = -4 < 0\). - \((- \frac{1}{4}, -\frac{1}{5})\): Выберем \( x = -\frac{1}{6} \): \(\frac{-15(-\frac{1}{6}) - 3}{4(-\frac{1}{6}) + 1} > 0\). - \((- \frac{1}{5}, ∞)\): Выберем \( x = 0 \): \(\frac{-3}{1} < 0 \). **Шаг 5: Определить ответ.** Решение: \( x \in (- \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}) \). --- Я предоставил пошаговое решение каждой задачи с целью понять их решение. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!