Чтобы найти уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника и параллельной стороне AC, нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Находим координаты средней линии
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. В этом случае, нам нужно найти середины сторон AB и BC.
1. Находим середину отрезка AB:
Координаты точки A: ( A(4, -8) )
Координаты точки B: ( B(-2, 6) )
Середина отрезка AB ( M_{AB} ) вычисляется по формуле:
[
M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)
]
Подставляем координаты:
[
M_{AB} = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-8 + 6}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (1, -1)
]
2. Находим середину отрезка BC:
Координаты точки B: ( B(-2, 6) )
Координаты точки C: ( C(2, 4) )
Середина отрезка BC ( M_{BC} ):
[
M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
]
Подставляем координаты:
[
M_{BC} = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{6 + 4}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{10}{2} \right) = (0, 5)
]
Шаг 2: Находим уравнение стороны AC
Теперь нам нужно найти уравнение прямой AC.
Координаты точки A: ( A(4, -8) )
Координаты точки C: ( C(2, 4) )
Сначала находим наклон (угловой коэффициент) прямой AC:
[
k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - (-8)}{2 - 4} = \frac{12}{-2} = -6
]
Уравнение прямой в общем виде:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
Где ( (x_1, y_1) ) — это координаты точки A:
[
y + 8 = -6(x - 4)
]
Раскроем скобки:
[
y + 8 = -6x + 24
]
Переносим 8 в правую часть:
[
y = -6x + 16
]
Шаг 3: Уравнение средней линии
Поскольку средняя линия будет параллельна стороне AC, её угловой коэффициент будет тем же, что и у прямой AC. Поэтому у нас есть:
[
k_{median} = -6
]
И у нас есть точка ( M_{AB}(1, -1) ).
Теперь подставляем это в уравнение прямой:
[
y - (-1) = -6(x - 1)
]
Раскрываем скобки:
[
y + 1 = -6x + 6
]
Переносим 1:
[
y = -6x + 5
]
Ответ
Уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника и параллельной стороне AC:
[
y = -6x + 5
]
