(x-3) (x²+10x+25)=9(x+5)
Давайте решим уравнение \((x-3)(x^2 + 10x + 25) = 9(x+5)\) шаг за шагом.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Сначала заметим, что выражение \(x^2 + 10x + 25\) можно упростить. Оно фактически является квадратом бинома:
\[ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \]
Теперь уравнение можно записать так:
\[ (x - 3)(x + 5)^2 = 9(x + 5) \]
Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону
Для удобства мы перенесем все к одному уравнению:
\[ (x - 3)(x + 5)^2 - 9(x + 5) = 0 \]
Заметим, что общий множитель здесь — \((x + 5)\). Мы можем его вынести:
\[ (x + 5) \left( (x - 3)(x + 5) - 9 \right) = 0 \]
Шаг 3: Рассмотрение множителя \((x + 5)\)
Первое уравнение, которое мы можем решить:
\[ x + 5 = 0 \]
Это дает нам:
\[ x = -5 \]
Шаг 4: Решение второго уравнения
Теперь решим следующее уравнение:
\[ (x - 3)(x + 5) - 9 = 0 \]
Разберем его:
\[ (x - 3)(x + 5) = 9 \]
Шаг 5: Раскрытие скобок
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 5x - 3x - 15 = 9 \]
Упростим это:
\[ x^2 + 2x - 15 = 9 \]
Шаг 6: Перенос 9 в другую сторону
Переносим 9 к левую сторону:
\[ x^2 + 2x - 15 - 9 = 0 \]
Упростим:
\[ x^2 + 2x - 24 = 0 \]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Сначала находим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \]
Это даст нам:
\[ x = \frac{-2 \pm 10}{2} \]
Шаг 8: Находим корни
Теперь мы решим для двух случаев:
При \(+10\): \[ x = \frac{8}{2} = 4 \]
При \(-10\): \[ x = \frac{-12}{2} = -6 \]
Шаг 9: Итоги
Таким образом, мы нашли три корня уравнения:
\[ x = -5, \quad x = 4, \quad x = -6 \]
Ответ
Корни уравнения \((x-3)(x^2 + 10x + 25) = 9(x+5)\) — это \(x = -5\), \(x = 4\) и \(x = -6\).
