(x-3) (x²+10x+25)=9(x+5)

Давайте решим уравнение \((x-3)(x^2 + 10x + 25) = 9(x+5)\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Упрощение уравнения Сначала заметим, что выражение \(x^2 + 10x + 25\) можно упростить. Оно фактически является квадратом бинома: \[ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \] Теперь уравнение можно записать так: \[ (x - 3)(x + 5)^2 = 9(x + 5) \] ### Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону Для удобства мы перенесем все к одному уравнению: \[ (x - 3)(x + 5)^2 - 9(x + 5) = 0 \] Заметим, что общий множитель здесь — \((x + 5)\). Мы можем его вынести: \[ (x + 5) \left( (x - 3)(x + 5) - 9 \right) = 0 \] ### Шаг 3: Рассмотрение множителя \((x + 5)\) Первое уравнение, которое мы можем решить: \[ x + 5 = 0 \] Это дает нам: \[ x = -5 \] ### Шаг 4: Решение второго уравнения Теперь решим следующее уравнение: \[ (x - 3)(x + 5) - 9 = 0 \] Разберем его: \[ (x - 3)(x + 5) = 9 \] ### Шаг 5: Раскрытие скобок Раскроем скобки: \[ x^2 + 5x - 3x - 15 = 9 \] Упростим это: \[ x^2 + 2x - 15 = 9 \] ### Шаг 6: Перенос 9 в другую сторону Переносим 9 к левую сторону: \[ x^2 + 2x - 15 - 9 = 0 \] Упростим: \[ x^2 + 2x - 24 = 0 \] ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\). Сначала находим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \] Это даст нам: \[ x = \frac{-2 \pm 10}{2} \] ### Шаг 8: Находим корни Теперь мы решим для двух случаев: 1. При \(+10\): \[ x = \frac{8}{2} = 4 \] 2. При \(-10\): \[ x = \frac{-12}{2} = -6 \] ### Шаг 9: Итоги Таким образом, мы нашли три корня уравнения: \[ x = -5, \quad x = 4, \quad x = -6 \] ### Ответ Корни уравнения \((x-3)(x^2 + 10x + 25) = 9(x+5)\) — это \(x = -5\), \(x = 4\) и \(x = -6\).