Шар и цилиндр имеют равные объёмы. Найди площадь  S S боковой поверхности цилиндра, если радиус шара равен радиусу основания цилиндра и равен  2 3 2 3 . Запиши в поле ответа значение  S π π S .

Давай решим задачу шаг за шагом. ### Дано: 1. Радиус шара \( r = \frac{2}{3} \). 2. Объем шара равен объему цилиндра. 3. Нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра. ### Формулы: 1. Объем шара: \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] 2. Объем цилиндра: \[ V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h \] где \( h \) — высота цилиндра, а \( r \) — радиус основания, который равен радиусу шара. 3. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S = 2 \pi r h \] ### Шаг 1: Находим объем шара Подставим радиус в формулу объема шара: \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{2}{3} \right)^3 \] Сначала найдем \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \): \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{8}{27} = \frac{32}{81} \pi \] ### Шаг 2: Уравнение объемов У нас есть равенства объемов: \[ \frac{32}{81} \pi = \pi \left( \frac{2}{3} \right)^2 h \] Подставим радиус в объем цилиндра: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Тогда уравнение становится: \[ \frac{32}{81} \pi = \pi \cdot \frac{4}{9} \cdot h \] Можно избавиться от \( \pi \): \[ \frac{32}{81} = \frac{4}{9} h \] Теперь умножим обе стороны на \( 9 \): \[ \frac{32 \cdot 9}{81} = 4 h \] Это упрощается до: \[ \frac{288}{81} = 4 h \quad \Rightarrow \quad \frac{32}{9} = 4 h \] Теперь разделим обе стороны на 4: \[ h = \frac{32}{36} = \frac{8}{9} \] ### Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности цилиндра Теперь, когда у нас есть высота, можем найти площадь боковой поверхности: \[ S = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9} \] Упростим это: \[ S = 2 \pi \cdot \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 9} = \frac{32}{27} \pi \] ### Ответ Площадь боковой поверхности цилиндра составляет: \[ \boxed{\frac{32}{27} \pi} \]