Шар и цилиндр имеют равные объёмы. Найди площадь S S боковой поверхности цилиндра, если радиус шара равен радиусу основания цилиндра и равен 2 3 2 3 . Запиши в поле ответа…

Давай решим задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Радиус шара \( r = \frac{2}{3} \).
2. Объем шара равен объему цилиндра.
3. Нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Формулы:

1. Объем шара:
   \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

2. Объем цилиндра:
   \[ V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h \]
   где \( h \) — высота цилиндра, а \( r \) — радиус основания, который равен радиусу шара.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра:
   \[ S = 2 \pi r h \]

Шаг 1: Находим объем шара

Подставим радиус в формулу объема шара: \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{2}{3} \right)^3 \] Сначала найдем \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \): \[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{8}{27} = \frac{32}{81} \pi \]

Шаг 2: Уравнение объемов

У нас есть равенства объемов: \[ \frac{32}{81} \pi = \pi \left( \frac{2}{3} \right)^2 h \] Подставим радиус в объем цилиндра: \[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Тогда уравнение становится: \[ \frac{32}{81} \pi = \pi \cdot \frac{4}{9} \cdot h \] Можно избавиться от \( \pi \): \[ \frac{32}{81} = \frac{4}{9} h \] Теперь умножим обе стороны на \( 9 \): \[ \frac{32 \cdot 9}{81} = 4 h \] Это упрощается до: \[ \frac{288}{81} = 4 h \quad \Rightarrow \quad \frac{32}{9} = 4 h \] Теперь разделим обе стороны на 4: \[ h = \frac{32}{36} = \frac{8}{9} \]

Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности цилиндра

Теперь, когда у нас есть высота, можем найти площадь боковой поверхности: \[ S = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9} \] Упростим это: \[ S = 2 \pi \cdot \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 9} = \frac{32}{27} \pi \]

Ответ

Площадь боковой поверхности цилиндра составляет: \[ \boxed{\frac{32}{27} \pi} \]