Задача 1: Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (4; -7) и N (-5; 3).
Шаг 1: Найдем длину отрезка MN.
Длина отрезка MN можно найти по формуле:
[
MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где (M(x_1, y_1) = (4, -7)) и (N(x_2, y_2) = (-5, 3)).
Подставим значения:
[
MN = \sqrt{((-5) - 4)^2 + (3 - (-7))^2} \
MN = \sqrt{(-9)^2 + (10)^2} \
MN = \sqrt{81 + 100} \
MN = \sqrt{181} \
MN \approx 13.45
]
Шаг 2: Найдем координаты середины отрезка MN.
Координаты середины отрезка определяются по формуле:
[
M_{середина} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
]
Поставим значения:
[
M_{середина} = \left( \frac{4 + (-5)}{2}, \frac{-7 + 3}{2} \right) \
M_{середина} = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-4}{2} \right) \
M_{середина} = \left( -0.5, -2 \right)
]
Ответ: Длина отрезка MN приблизительно равна 13.45, координаты середины — (-0.5, -2).
Задача 2: Найдите координаты центра и радиус окружности (x + 2)² + (y - 8)² = 36.
Шаг 1: Определим центр окружности.
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
где ((x_0, y_0)) — координаты центра, а (r) — радиус.
В данном уравнении мы видим:
[
(x + 2)^2 + (y - 8)^2 = 6^2
]
Поэтому:
- Координаты центра: ((-2, 8))
- Радиус: (r = 6)
Ответ: Центр окружности в точке (-2, 8), радиус равен 6.
Задача 3: Найдите координаты точек пересечения прямой 6x + 7y = -2 с осями координат.
Шаг 1: Найдем пересечение с осью X.
Для нахождения точки пересечения с осью X, подставим (y = 0):
[
6x + 7(0) = -2 \
6x = -2 \
x = -\frac{1}{3}
]
Точка пересечения с осью X: ((-1/3, 0)).
Шаг 2: Найдем пересечение с осью Y.
Для нахождения точки пересечения с осью Y, подставим (x = 0):
[
6(0) + 7y = -2 \
7y = -2 \
y = -\frac{2}{7}
]
Точка пересечения с осью Y: ((0, -2/7)).
Ответ: Точки пересечения: ((-1/3, 0)) и ((0, -2/7)).
Задача 4: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X(3; -2) и Y(-4; 9).
Шаг 1: Найдем угловой коэффициент (k) прямой.
Угловой коэффициент рассчитывается по формуле:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
]
Здесь (X(x_1, y_1) = (3, -2)) и (Y(x_2, y_2) = (-4, 9)):
[
k = \frac{9 - (-2)}{-4 - 3} = \frac{9 + 2}{-4 - 3} = \frac{11}{-7} = -\frac{11}{7}
]
Шаг 2: Используем точку X(3; -2) для нахождения уравнения прямой.
Уравнение прямой в общем виде:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
Подставляем:
[
y - (-2) = -\frac{11}{7}(x - 3) \
y + 2 = -\frac{11}{7}x + \frac{33}{7}
]
Упрощаем:
[
y = -\frac{11}{7}x + \frac{33}{7} - \frac{14}{7} \
y = -\frac{11}{7}x + \frac{19}{7}
]
Ответ: Уравнение прямой: (y = -\frac{11}{7}x + \frac{19}{7}).
