1. Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если М (4; -7) и № (-5; 3). 2. Найдите координаты центра и радиус окружности (х + 2)2 + (y - 8)² = 36. 3. Найдите координаты…

Задача 1: Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (4; -7) и N (-5; 3).

Шаг 1: Найдем длину отрезка MN.

Длина отрезка MN можно найти по формуле: \[ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \(M(x_1, y_1) = (4, -7)\) и \(N(x_2, y_2) = (-5, 3)\).

Подставим значения: \[ MN = \sqrt{((-5) - 4)^2 + (3 - (-7))^2} \\ MN = \sqrt{(-9)^2 + (10)^2} \\ MN = \sqrt{81 + 100} \\ MN = \sqrt{181} \\ MN \approx 13.45 \]

Шаг 2: Найдем координаты середины отрезка MN.

Координаты середины отрезка определяются по формуле: \[ M_{середина} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Поставим значения: \[ M_{середина} = \left( \frac{4 + (-5)}{2}, \frac{-7 + 3}{2} \right) \\ M_{середина} = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-4}{2} \right) \\ M_{середина} = \left( -0.5, -2 \right) \]

Ответ: Длина отрезка MN приблизительно равна 13.45, координаты середины — (-0.5, -2).

Задача 2: Найдите координаты центра и радиус окружности (x + 2)² + (y - 8)² = 36.

Шаг 1: Определим центр окружности.

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \] где \((x_0, y_0)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус.

В данном уравнении мы видим: \[ (x + 2)^2 + (y - 8)^2 = 6^2 \]

Поэтому:

• Координаты центра: \((-2, 8)\)
• Радиус: \(r = 6\)

Ответ: Центр окружности в точке (-2, 8), радиус равен 6.

Задача 3: Найдите координаты точек пересечения прямой 6x + 7y = -2 с осями координат.

Шаг 1: Найдем пересечение с осью X.

Для нахождения точки пересечения с осью X, подставим \(y = 0\): \[ 6x + 7(0) = -2 \\ 6x = -2 \\ x = -\frac{1}{3} \]

Точка пересечения с осью X: \((-1/3, 0)\).

Шаг 2: Найдем пересечение с осью Y.

Для нахождения точки пересечения с осью Y, подставим \(x = 0\): \[ 6(0) + 7y = -2 \\ 7y = -2 \\ y = -\frac{2}{7} \]

Точка пересечения с осью Y: \((0, -2/7)\).

Ответ: Точки пересечения: \((-1/3, 0)\) и \((0, -2/7)\).

Задача 4: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X(3; -2) и Y(-4; 9).

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент (k) прямой.

Угловой коэффициент рассчитывается по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Здесь \(X(x_1, y_1) = (3, -2)\) и \(Y(x_2, y_2) = (-4, 9)\): \[ k = \frac{9 - (-2)}{-4 - 3} = \frac{9 + 2}{-4 - 3} = \frac{11}{-7} = -\frac{11}{7} \]

Шаг 2: Используем точку X(3; -2) для нахождения уравнения прямой.

Уравнение прямой в общем виде: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

Подставляем: \[ y - (-2) = -\frac{11}{7}(x - 3) \\ y + 2 = -\frac{11}{7}x + \frac{33}{7} \]

Упрощаем: \[ y = -\frac{11}{7}x + \frac{33}{7} - \frac{14}{7} \\ y = -\frac{11}{7}x + \frac{19}{7} \]

Ответ: Уравнение прямой: \(y = -\frac{11}{7}x + \frac{19}{7}\).