Контрольная работа №2 по теме «Площади фигур» Вариант 1 1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14см и 6см. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 4см и 3см.…

Решим каждую задачу по порядку, предоставляя полное объяснение.

Задача 1: Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 см и 6 см.

Формула для площади ромба: Площадь ромба \( S \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

Дано: \( d_1 = 14 \) см, \( d_2 = 6 \) см.

Подставляем значения: \[ S = \frac{14 \cdot 6}{2} = \frac{84}{2} = 42 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь ромба равна 42 см².

Задача 2: Катеты прямоугольного треугольника равны 4 см и 3 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

1. Найдем гипотенузу: Используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( a = 4 \) см и \( b = 3 \) см.

Подставим значения: \[ c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

2. Найдем площадь треугольника: Площадь \( S \) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}^2 \]

Ответ: Гипотенуза равна 5 см, площадь треугольника равна 6 см².

Задача 3: Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон – 5 см. Найдите площадь прямоугольника.

1. Найдем другую сторону: Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \) (где \( a = 5 \) см). Используем теорему Пифагора: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] где \( d = 13 \) см.

Подставим и найдем \( b \): \[ 13^2 = 5^2 + b^2 \implies 169 = 25 + b^2 \implies b^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

2. Найдем площадь: Площадь \( S \) прямоугольника: \[ S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 60 см².

Задача 4: Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если ВС = 13 см, АД = 27 см, СД = 10 см, Д = 30.

Формула для площади трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота.

1. Найдем высоту трапеции. Во-первых, предположим, что точки \( С \) и \( Д \) являются основаниями и проекция на основание \( АД \) перпендикулярна. Можно воспользоваться теоремой Пифагора в правом треугольнике \( \Delta СДФ \), где \( Ф \) – это проекция точки \( С \) на отрезок \( АД \).

\( |АД - ВС| = |27 - 13| = 14 \) см (это проекция оснований). Теперь эта проекция делится на 2 равные части, что даёт 7 см.

2. Найдем высоту: Используя теорему Пифагора в треугольнике \( СДФ \): \[ СД^2 = h^2 + (7)^2 \] \[ 10^2 = h^2 + 7^2 \implies 100 = h^2 + 49 \implies h^2 = 51 \implies h = \sqrt{51} = 7.14 \text{ см} \]

3. Площадь трапеции: Теперь подставляем в формулу площади: \[ S = \frac{(27 + 13) \cdot \sqrt{51}}{2} = \frac{40 \cdot \sqrt{51}}{2} = 20 \sqrt{51} \approx 20 \cdot 7.14 = 142.8 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь трапеции приблизительно равна 142.8 см².

Задача 5: Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Формула для площади параллелограмма: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \] где \( a \) и \( b \) — стороны, а \( \alpha \) — угол между ними.

Дано: \( a = 52 \) см, \( b = 30 \) см, \( \alpha = 30^\circ \).

Подставляем значения: Напомним, что \( \sin(30°) = 0.5 \): \[ S = 52 \cdot 30 \cdot 0.5 = 1560 \cdot 0.5 = 780 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 780 см².

Таким образом, мы нашли площади и длины в каждом случае с полными объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!