Давайте решим неравенство:
[
\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} \leq 1
]
Шаг 1: Область допустимых значений
Для того чтобы выражения под корнями имели смысл, необходимо, чтобы:
- (x + 5 \geq 0 ) ⟹ ( x \geq -5 )
- (x \geq 0)
Объединяя эти условия, получаем: ( x \geq 0 ).
Шаг 2: Упростим неравенство
Преобразуем исходное неравенство:
[
\sqrt{x + 5} \leq \sqrt{x} + 1
]
Теперь возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
[
x + 5 \leq (\sqrt{x} + 1)^2
]
Шаг 3: Упростим квадрат
Вычислим правую часть:
[
(\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1
]
Теперь подставим это в неравенство:
[
x + 5 \leq x + 2\sqrt{x} + 1
]
Шаг 4: Упростим дальше
Уберем из обеих частей (x), поскольку они одинаковые:
[
5 \leq 2\sqrt{x} + 1
]
Вычтем 1 из обеих частей:
[
4 \leq 2\sqrt{x}
]
Разделим обе части на 2:
[
2 \leq \sqrt{x}
]
Шаг 5: Возведем обе части в квадрат
[
4 \leq x
]
Шаг 6: Объединение с областью допустимых значений
Итак, имеем условия (x \geq 0) и (x \geq 4). Совмещая, получаем:
[
x \geq 4
]
Таким образом, решением неравенства является:
[
x \geq 4
]
Ответ: (x \geq 4).
