Решить уравнение
Давайте решим неравенство:
\[ \sqrt{x + 5} - \sqrt{x} \leq 1 \]
Шаг 1: Область допустимых значений
Для того чтобы выражения под корнями имели смысл, необходимо, чтобы:
- \(x + 5 \geq 0 \) ⟹ \( x \geq -5 \)
- \(x \geq 0\)
Объединяя эти условия, получаем: \( x \geq 0 \).
Шаг 2: Упростим неравенство
Преобразуем исходное неравенство:
\[ \sqrt{x + 5} \leq \sqrt{x} + 1 \]
Теперь возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[ x + 5 \leq (\sqrt{x} + 1)^2 \]
Шаг 3: Упростим квадрат
Вычислим правую часть:
\[ (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \]
Теперь подставим это в неравенство:
\[ x + 5 \leq x + 2\sqrt{x} + 1 \]
Шаг 4: Упростим дальше
Уберем из обеих частей \(x\), поскольку они одинаковые:
\[ 5 \leq 2\sqrt{x} + 1 \]
Вычтем 1 из обеих частей:
\[ 4 \leq 2\sqrt{x} \]
Разделим обе части на 2:
\[ 2 \leq \sqrt{x} \]
Шаг 5: Возведем обе части в квадрат
\[ 4 \leq x \]
Шаг 6: Объединение с областью допустимых значений
Итак, имеем условия \(x \geq 0\) и \(x \geq 4\). Совмещая, получаем:
\[ x \geq 4 \]
Таким образом, решением неравенства является:
\[ x \geq 4 \]
Ответ: \(x \geq 4\).
