Решить уравнение
Для решения данного уравнения:
\[ \sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1 \]
выполним следующие шаги:
Изолируем один из корней:
Перенесём \(\sqrt{x}\) на правую сторону:
\[ \sqrt{x + 5} = \sqrt{x} + 1 \]
Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[ (\sqrt{x + 5})^2 = (\sqrt{x} + 1)^2 \]
\[ x + 5 = x + 2\sqrt{x} + 1 \]
Упростим уравнение:
Отнимем \(x + 1\) от обеих сторон:
\[ x + 5 - x - 1 = 2\sqrt{x} \]
\[ 4 = 2\sqrt{x} \]
Решаем уравнение для \(\sqrt{x}\):
Разделим обе части на 2:
\[ \sqrt{x} = 2 \]
Возводим в квадрат, чтобы найти \(x\):
\[ x = 4 \]
Проверим решение:
Подставим \(x = 4\) обратно в исходное уравнение:
\[ \sqrt{4 + 5} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1 \]
Левая часть равна правой (\(1\)), значит, \(x = 4\) — верное решение.
Таким образом, решение уравнения:
\[ x = 4 \]
