Решить неравенство
Решим неравенство \(\sqrt{3 - 4x} \leq 2\).
Шаг 1: Удалим квадратный корень
Первым делом, чтобы убрать квадратный корень, возведём обе части неравенства в квадрат. Заметим, что это возможно, поскольку обе части неотрицательные:
\[ (\sqrt{3 - 4x})^2 \leq 2^2 \]
Получаем: \[ 3 - 4x \leq 4 \]
Шаг 2: Решим линейное неравенство
Теперь решим линейное неравенство:
Перенесём 3 в правую часть:
\[ -4x \leq 4 - 3 \]
\[ -4x \leq 1 \]
Разделим обе части на -4. Не забудьте поменять знак неравенства, так как делим на отрицательное число:
\[ x \geq -\frac{1}{4} \]
Шаг 3: Учтём область определения
Так как подкоренное выражение \(\sqrt{3 - 4x}\) должно быть больше или равно нулю, имеем:
\[ 3 - 4x \geq 0 \]
Решаем это неравенство:
Переносим 3 в правую часть и меняем знаки: \[ -4x \geq -3 \]
Делим обе стороны на -4 и меняем знак неравенства: \[ x \leq \frac{3}{4} \]
Шаг 4: Найдём пересечение промежутков
Теперь найдём пересечение двух условий:
- \(x \geq -\frac{1}{4}\)
- \(x \leq \frac{3}{4}\)
Объединяя их, получим: \[ -\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4} \]
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right] \]
Готово! Если есть вопросы, обращайся.
