Решим неравенство (\sqrt{3 - 4x} \leq 2).
Шаг 1: Удалим квадратный корень
Первым делом, чтобы убрать квадратный корень, возведём обе части неравенства в квадрат. Заметим, что это возможно, поскольку обе части неотрицательные:
[
(\sqrt{3 - 4x})^2 \leq 2^2
]
Получаем:
[
3 - 4x \leq 4
]
Шаг 2: Решим линейное неравенство
Теперь решим линейное неравенство:
Перенесём 3 в правую часть:
[
-4x \leq 4 - 3
]
[
-4x \leq 1
]
Разделим обе части на -4. Не забудьте поменять знак неравенства, так как делим на отрицательное число:
[
x \geq -\frac{1}{4}
]
Шаг 3: Учтём область определения
Так как подкоренное выражение (\sqrt{3 - 4x}) должно быть больше или равно нулю, имеем:
[
3 - 4x \geq 0
]
Решаем это неравенство:
Переносим 3 в правую часть и меняем знаки:
[
-4x \geq -3
]
Делим обе стороны на -4 и меняем знак неравенства:
[
x \leq \frac{3}{4}
]
Шаг 4: Найдём пересечение промежутков
Теперь найдём пересечение двух условий:
- (x \geq -\frac{1}{4})
- (x \leq \frac{3}{4})
Объединяя их, получим:
[
-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}
]
Таким образом, решение неравенства:
[
x \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]
]
Готово! Если есть вопросы, обращайся.
