.
Давайте решим каждый неравенство по отдельности.
1. \(\sqrt{6 + x} > 4\)
Шаг 1: Избавьтесь от корня
Возведите обе стороны неравенства в квадрат:
\[ 6 + x > 16 \]
Шаг 2: Решите получившееся линейное неравенство
\[ x > 16 - 6 \]
\[ x > 10 \]
Ответ: \( x > 10 \)
2. \(\sqrt{3x + 10} \geq \sqrt{5x - 4}\)
Шаг 1: Возведите обе стороны в квадрат
\[ 3x + 10 \geq 5x - 4 \]
Шаг 2: Перенесите все члены с \(x\) в одну сторону
\[ 10 + 4 \geq 5x - 3x \]
\[ 14 \geq 2x \]
Шаг 3: Разделите на 2
\[ x \leq 7 \]
Условие существования корней:
- \( 3x + 10 \geq 0 \) дает \( x \geq -\frac{10}{3} \).
- \( 5x - 4 \geq 0 \) дает \( x \geq \frac{4}{5} \).
Объединяя условия, получаем: \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \).
Ответ: \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \)
3. \(\sqrt{6 - x - x^2} < 2 - x\)
Шаг 1: Избавьтесь от корня
Возведите обе стороны в квадрат:
\[ 6 - x - x^2 < (2 - x)^2 \]
Шаг 2: Раскройте скобки справа
\[ 6 - x - x^2 < 4 - 4x + x^2 \]
Шаг 3: Перенесите все члены на одну сторону
\[ 6 - x - x^2 - 4 + 4x - x^2 < 0 \]
\[ -2x^2 + 3x + 2 < 0 \]
Шаг 4: Найдите корни квадратного уравнения
Решим уравнение \(-2x^2 + 3x + 2 = 0\) через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{-4} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{-3 + 5}{-4} = -\frac{1}{2} \]
\[ x_2 = \frac{-3 - 5}{-4} = 2 \]
Шаг 5: Найдите интервалы
Отметим корни на числовой прямой и проверим интервалы:
- При \(x < -\frac{1}{2}\), выберите, например, \(-1\).
- При \(-\frac{1}{2} < x < 2\), выберите, например, \(0\).
- При \(x > 2\), выберите, например, \(3\).
Знак неравенства отрицателен между корнями.
Условие существования корней: \(6 - x - x^2 \geq 0\), то есть \(-2 \leq x \leq 3\).
Учитываем оба условия: \(-\frac{1}{2} < x < 2\).
Ответ: \(-\frac{1}{2} < x < 2\)
Таким образом, решения неравенств:
- \( x > 10 \)
- \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \)
- \(-\frac{1}{2} < x < 2\)
