.

Давайте решим каждый неравенство по отдельности. ### 1. \(\sqrt{6 + x} > 4\) **Шаг 1: Избавьтесь от корня** Возведите обе стороны неравенства в квадрат: \[ 6 + x > 16 \] **Шаг 2: Решите получившееся линейное неравенство** \[ x > 16 - 6 \] \[ x > 10 \] **Ответ:** \( x > 10 \) --- ### 2. \(\sqrt{3x + 10} \geq \sqrt{5x - 4}\) **Шаг 1: Возведите обе стороны в квадрат** \[ 3x + 10 \geq 5x - 4 \] **Шаг 2: Перенесите все члены с \(x\) в одну сторону** \[ 10 + 4 \geq 5x - 3x \] \[ 14 \geq 2x \] **Шаг 3: Разделите на 2** \[ x \leq 7 \] **Условие существования корней:** - \( 3x + 10 \geq 0 \) дает \( x \geq -\frac{10}{3} \). - \( 5x - 4 \geq 0 \) дает \( x \geq \frac{4}{5} \). Объединяя условия, получаем: \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \). **Ответ:** \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \) --- ### 3. \(\sqrt{6 - x - x^2} < 2 - x\) **Шаг 1: Избавьтесь от корня** Возведите обе стороны в квадрат: \[ 6 - x - x^2 < (2 - x)^2 \] **Шаг 2: Раскройте скобки справа** \[ 6 - x - x^2 < 4 - 4x + x^2 \] **Шаг 3: Перенесите все члены на одну сторону** \[ 6 - x - x^2 - 4 + 4x - x^2 < 0 \] \[ -2x^2 + 3x + 2 < 0 \] **Шаг 4: Найдите корни квадратного уравнения** Решим уравнение \(-2x^2 + 3x + 2 = 0\) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{-4} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{-4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-3 - 5}{-4} = 2 \] **Шаг 5: Найдите интервалы** Отметим корни на числовой прямой и проверим интервалы: - При \(x < -\frac{1}{2}\), выберите, например, \(-1\). - При \(-\frac{1}{2} < x < 2\), выберите, например, \(0\). - При \(x > 2\), выберите, например, \(3\). Знак неравенства отрицателен между корнями. **Условие существования корней**: \(6 - x - x^2 \geq 0\), то есть \(-2 \leq x \leq 3\). Учитываем оба условия: \(-\frac{1}{2} < x < 2\). **Ответ:** \(-\frac{1}{2} < x < 2\) --- Таким образом, решения неравенств: 1. \( x > 10 \) 2. \( \frac{4}{5} \leq x \leq 7 \) 3. \(-\frac{1}{2} < x < 2\)