Давайте разберем каждую задачу по порядку.
1. Площадь квадрата
Задача: Сторона квадрата равна ( 7\sqrt{2} ). Найдите площадь этого квадрата.
Решение:
Формула для вычисления площади квадрата:
[
S = a^2
]
где ( a ) — сторона квадрата.
Подставим значение:
[
S = (7\sqrt{2})^2
]
Выполним вычисления:
[
S = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98
]
Таким образом, площадь квадрата равна 98.
2. Высоты параллелограмма
Задача: Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение:
Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
[
S = a \cdot h_a = b \cdot h_b
]
где ( S ) — площадь, ( a ) и ( b ) — длины сторон, ( h_a ) и ( h_b ) — высоты, проведенные к этим сторонам.
Для стороны ( a = 9 ):
[
54 = 9 \cdot h_a \
h_a = \frac{54}{9} = 6
]
Для стороны ( b = 18 ):
[
54 = 18 \cdot h_b \
h_b = \frac{54}{18} = 3
]
Находим меньшую высоту:
[
\text{Меньшая высота} = \min(6, 3) = 3
]
Ответ: 3.
3. Высота равнобедренной трапеции
Задача: В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.
Решение:
Расставим обозначения:
- ( a = 3 ) (нижнее основание),
- ( b = 5 ) (верхнее основание).
Поскольку угол равен 45°, можем провести высоту ( h ) до нижнего основания, перпендикулярно.
Половина разности оснований:
[
\frac{b-a}{2} = \frac{5-3}{2} = 1
]
В трапеции высота и половина разности оснований образуют прямоугольный треугольник:
[
\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{1} \implies h = 1
]
Ответ: 1.
4. Площадь ромба
Задача: Периметр ромба равен 48, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
Решение:
Периметр ромба:
[
P = 4s = 48 \implies s = 12
]
Площадь ромба можно найти через сторону и угол:
[
S = s^2 \cdot \sin(\theta) = 12^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72
]
Ответ: 72.
5. Площадь треугольника
Задача: Сторона треугольника равна 18 см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Сторона:
[
a = 18 , \text{см}
]
Высота:
[
h = \frac{18}{2} = 9 , \text{см}
]
Площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81
]
Ответ: 81 см².
6. Площадь ромба с диагоналями
Задача: Диагонали ромба равны 8 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр, если известно, что сторона равна высоте ромба.
Решение:
Площадь ромба через диагонали:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{8 \cdot 12}{2} = 48
]
Для периметра:
Сначала найдем сторону. Половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник:
[
s = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
]
Периметр:
[
P = 4s = 4 \cdot 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}
]
Ответ: Площадь 48 и периметр 8√13.
