периметр прямоугольника равен 30 см . найдите его стороны , если известно , что площадь прямоугольника равна 56 см²
Давайте решим задачу, шаг за шагом. Нам даны следующие данные:
- Периметр прямоугольника (P) = 30 см
- Площадь прямоугольника (S) = 56 см²
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Шаг 1: Используем формулы периметра и площади
Для периметра прямоугольника есть формула: \[ P = 2(a + b) \]
Для площади: \[ S = a \cdot b \]
Шаг 2: Подставим известные значения в формулы
Из формулы периметра: \[ 30 = 2(a + b) \]
Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 15 \] (это уравнение 1)
Из формулы площади: \[ 56 = a \cdot b \] (это уравнение 2)
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a + b = 15 \)
- \( a \cdot b = 56 \)
Теперь выразим \( b \) из первого уравнения: \[ b = 15 - a \]
Шаг 4: Подставим выражение для \( b \) во второе уравнение
Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a \cdot (15 - a) = 56 \]
Раскроем скобки: \[ 15a - a^2 = 56 \]
Приведем все к одному виду: \[ a^2 - 15a + 56 = 0 \]
Теперь у нас квадратное уравнение.
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения
Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -15, c = 56 \).
Подставим значения: \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 \] \[ D = 225 - 224 = 1 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 1}{2} \]
Это дает нам два значения: \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{14}{2} = 7 \]
Шаг 6: Найдем значения \( b \)
Теперь найдем \( b \) для каждого из \( a \):
- Если \( a = 8 \), то \( b = 15 - 8 = 7 \).
- Если \( a = 7 \), то \( b = 15 - 7 = 8 \).
Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.
Это значит, что прямоугольник имеет размеры:
- \( 7 \) см
- \( 8 \) см
Проверим:
- Периметр: \( 2(7 + 8) = 30 \) см — верно.
- Площадь: \( 7 \cdot 8 = 56 \) см² — верно.
Если есть дополнительные вопросы или вам нужно ещё что-то объяснить, спрашивайте!
