Давайте решим задачу, шаг за шагом. Нам даны следующие данные:
- Периметр прямоугольника (P) = 30 см
- Площадь прямоугольника (S) = 56 см²
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Шаг 1: Используем формулы периметра и площади
Для периметра прямоугольника есть формула:
[
P = 2(a + b)
]
Для площади:
[
S = a \cdot b
]
Шаг 2: Подставим известные значения в формулы
Из формулы периметра:
[
30 = 2(a + b)
]
Разделим обе стороны на 2:
[
a + b = 15
]
(это уравнение 1)
Из формулы площади:
[
56 = a \cdot b
]
(это уравнение 2)
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( a + b = 15 )
- ( a \cdot b = 56 )
Теперь выразим ( b ) из первого уравнения:
[
b = 15 - a
]
Шаг 4: Подставим выражение для ( b ) во второе уравнение
Теперь подставим ( b ) во второе уравнение:
[
a \cdot (15 - a) = 56
]
Раскроем скобки:
[
15a - a^2 = 56
]
Приведем все к одному виду:
[
a^2 - 15a + 56 = 0
]
Теперь у нас квадратное уравнение.
Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения
Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1, b = -15, c = 56 ).
Подставим значения:
[
D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56
]
[
D = 225 - 224 = 1
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 1}{2}
]
Это дает нам два значения:
[
a_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{14}{2} = 7
]
Шаг 6: Найдем значения ( b )
Теперь найдем ( b ) для каждого из ( a ):
- Если ( a = 8 ), то ( b = 15 - 8 = 7 ).
- Если ( a = 7 ), то ( b = 15 - 7 = 8 ).
Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.
Это значит, что прямоугольник имеет размеры:
Проверим:
- Периметр: ( 2(7 + 8) = 30 ) см — верно.
- Площадь: ( 7 \cdot 8 = 56 ) см² — верно.
Если есть дополнительные вопросы или вам нужно ещё что-то объяснить, спрашивайте!
