площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy=9, осью OX и прямыми x=3 и x=6

Для нахождения площади фигуры, ограниченной гиперболой, осью OX и прямыми \(x=3\) и \(x=6\), мы можем использовать интегралы. Рассмотрим шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Найдите уравнение гиперболы

Дано уравнение гиперболы: \[ xy = 9 \] Это можно переписать в виде: \[ y = \frac{9}{x} \]

Шаг 2: Определите пределы интегрирования

Мы будем интегрировать от \(x=3\) до \(x=6\).

Шаг 3: Напишите интеграл для площади

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX, вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} y \, dx \] где \(y\) — это функция, заданная выше, а \(a\) и \(b\) — это пределы интегрирования (в данном случае \(3\) и \(6\)): \[ S = \int_{3}^{6} \frac{9}{x} \, dx \]

Шаг 4: Найдите первообразную

Найдем первообразную функции \(\frac{9}{x}\): \[ \int \frac{9}{x} \, dx = 9 \ln |x| + C \]

Шаг 5: Вычислите определенный интеграл

Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ 9 \ln |x| \right]_{3}^{6} = 9 \ln |6| - 9 \ln |3| \] Согласно свойствам логарифмов: \[ S = 9 (\ln 6 - \ln 3) = 9 \ln\left(\frac{6}{3}\right) = 9 \ln(2) \]

Шаг 6: Запишите ответ

Итак, площадь фигуры, ограниченной гиперболой, осью OX и прямыми \(x=3\) и \(x=6\) равна: \[ S = 9 \ln(2) \]

Заключение

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной заданной гиперболой и осью OX, с помощью определенного интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в других задачах, напишите!