Для нахождения площади фигуры, ограниченной гиперболой, осью OX и прямыми (x=3) и (x=6), мы можем использовать интегралы. Рассмотрим шаги решения этой задачи.
Шаг 1: Найдите уравнение гиперболы
Дано уравнение гиперболы:
[
xy = 9
]
Это можно переписать в виде:
[
y = \frac{9}{x}
]
Шаг 2: Определите пределы интегрирования
Мы будем интегрировать от (x=3) до (x=6).
Шаг 3: Напишите интеграл для площади
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX, вычисляется по формуле:
[
S = \int_{a}^{b} y , dx
]
где (y) — это функция, заданная выше, а (a) и (b) — это пределы интегрирования (в данном случае (3) и (6)):
[
S = \int_{3}^{6} \frac{9}{x} , dx
]
Шаг 4: Найдите первообразную
Найдем первообразную функции (\frac{9}{x}):
[
\int \frac{9}{x} , dx = 9 \ln |x| + C
]
Шаг 5: Вычислите определенный интеграл
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
S = \left[ 9 \ln |x| \right]_{3}^{6} = 9 \ln |6| - 9 \ln |3|
]
Согласно свойствам логарифмов:
[
S = 9 (\ln 6 - \ln 3) = 9 \ln\left(\frac{6}{3}\right) = 9 \ln(2)
]
Шаг 6: Запишите ответ
Итак, площадь фигуры, ограниченной гиперболой, осью OX и прямыми (x=3) и (x=6) равна:
[
S = 9 \ln(2)
]
Заключение
Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной заданной гиперболой и осью OX, с помощью определенного интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в других задачах, напишите!
