решите неравенство используя метод интервалов
Для решения неравенства \((x + 9)(x - 5) > 0\) с использованием метода интервалов, следуем следующим шагам:
Найдём нули функции:
Приравняем каждую скобку к нулю:
\[ x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -9 \]
\[ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \]
Таким образом, нули функции (то есть точки разрыва) находятся в \(x = -9\) и \(x = 5\).
Разобьём числовую ось на интервалы:
Точки \(x = -9\) и \(x = 5\) делят числовую ось на три интервала:
- \((-\infty, -9)\)
- \((-9, 5)\)
- \((5, \infty)\)
Определим знак произведения на каждом интервале:
Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в неравенство:
Для интервала \((-\infty, -9)\), например, \(x = -10\):
\((x + 9)(x - 5) = (-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) = 15 > 0\)
Знак положительный.
Для интервала \((-9, 5)\), например, \(x = 0\):
\((x + 9)(x - 5) = (0 + 9)(0 - 5) = 9 \cdot (-5) = -45 < 0\)
Знак отрицательный.
Для интервала \((5, \infty)\), например, \(x = 6\):
\((x + 9)(x - 5) = (6 + 9)(6 - 5) = 15 \cdot 1 = 15 > 0\)
Знак положительный.
Запишем решение:
Так как нас интересует, где произведение положительно \((>0)\), то решение включает интервалы, где знак положительный:
\[ x \in (-\infty, -9) \cup (5, \infty) \]
Таким образом, решением этого неравенства являются все \(x\) на интервалах \((-\infty, -9)\) и \((5, \infty)\).
