Решите уравнения

Давайте решим уравнения из каждого пункта подробно.

33.62

a) \(8x(1 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 2x\)

1. Раскроем скобки: \[ 8x + 16x^2 - (16x^2 - 12x) = 2x \]

2. Упростим выражение: \[ 8x + 16x^2 - 16x^2 + 12x = 2x \]

3. Объединим подобные члены: \[ 20x = 2x \]

4. Вычтем \(2x\) из обеих частей: \[ 18x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]

b) \(9x(x + 1) - 4(4x^2 + 1) = 5x(x - 1)\)

1. Раскроем скобки: \[ 9x^2 + 9x - 16x^2 - 4 = 5x^2 - 5x \]

2. Переносим все на одну сторону: \[ 9x^2 + 9x - 16x^2 - 4 - 5x^2 + 5x = 0 \]

3. Упростим: \[ -12x^2 + 14x - 4 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: \[ 12x^2 - 14x + 4 = 0 \]

   дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 4 = 196 - 192 = 4\)

   Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2}{24} \] \[ x_1 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

33.63

a) \(9x^2 - 1 = (3x - 2)^2 \circ 0\)

1. Представим как разность квадратов: \[ 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x + 1)(3x - 1) \]

2. Приравняем: \[ (3x + 1)(3x - 1) = 0 \]

3. Найдем корни: \[ 3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3} \] \[ 3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \]

b) \(x - \frac{1}{x} = 4\)

1. Умножим обе части на \(x\): \[ x^2 - 1 = 4x \]

2. Преобразуем в квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 1 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение: дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 16 + 4 = 20\)

   Корни: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ x_1 = 2 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{5} \]

33.66

a) \((x - 6)(x^2 + x + 1) = 0\)

1. Разделим на два уравнения: \[ x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] \[ x^2 + x + 1 = 0 \]

2. Найдем дискриминант: дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3\) (нет действительных корней)

По этому уравнению лишь один действительный корень: \(x = 6\).

Эти решения помогут вам понять структуру и методы решения данных алгебраических уравнений.