дробь 7/5x²+3x+12 - дробь 5/5x-2
Чтобы решить выражение \(\frac{7}{5x^2 + 3x + 12} - \frac{5}{5x - 2}\) и лучше его понять, давайте разобьем решение на несколько шагов.
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Для того чтобы вычесть дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей обеих дробей:
\[ (5x^2 + 3x + 12)(5x - 2) \]
Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю
Теперь мы можем записать каждую дробь с общим знаменателем:
\[ \frac{7}{5x^2 + 3x + 12} \cdot \frac{(5x - 2)}{(5x - 2)} - \frac{5}{5x - 2} \cdot \frac{(5x^2 + 3x + 12)}{(5x^2 + 3x + 12)} \]
После умножения дробей мы получаем:
\[ \frac{7(5x - 2)}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} - \frac{5(5x^2 + 3x + 12)}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Шаг 3: Объединение дробей
Теперь, когда обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их:
\[ \frac{7(5x - 2) - 5(5x^2 + 3x + 12)}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Шаг 4: Раскрываем скобки
Теперь раскроем скобки в числителе:
Раскроем \(7(5x - 2)\): \[ 35x - 14 \]
Раскроем \(-5(5x^2 + 3x + 12)\): \[ -25x^2 - 15x - 60 \]
Теперь подставим это обратно в числитель:
\[ \frac{35x - 14 - 25x^2 - 15x - 60}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Шаг 5: Упрощение числителя
Объединим подобные слагаемые в числителе:
\[ -25x^2 + (35x - 15x) + (-14 - 60) = -25x^2 + 20x - 74 \]
Таким образом, мы получаем:
\[ \frac{-25x^2 + 20x - 74}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Шаг 6: Итоговое выражение
Теперь окончательное выражение будет выглядеть так:
\[ \frac{-25x^2 + 20x - 74}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Это и есть результат вычитания дробей. Если необходимо, можно исследовать числитель на возможность дальнейшего упрощения или факторизации, но в большинстве случаев это уже достаточно для решения задачи.
Обсуждение
2 сообщениянадо упростить
Хорошо, давайте упростим числитель \(-25x^2 + 20x - 74\).
1. Упрощение числителя
Чтобы упростить многочлен \(-25x^2 + 20x - 74\), попробуем его привести к стандартному виду и проверить, можно ли его факторизовать.
Шаг 1: Посмотрим на коэффициенты.
Можем вынести общий множитель для числителя. Все коэффициенты делятся на -1:
\[ -25x^2 + 20x - 74 = -1(25x^2 - 20x + 74) \]
Теперь у нас числитель выглядит так:
\[ -1(25x^2 - 20x + 74) \]
Шаг 2: Проверим, можно ли факторизовать \(25x^2 - 20x + 74\).
Чтобы выяснить, имеет ли многочлен вещественные корни, воспользуемся дискриминантом \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 74 \] \[ D = 400 - 7400 = -7000 \]
Так как дискриминант отрицателен, многочлен \(25x^2 - 20x + 74\) не имеет вещественных корней и не может быть факторизован в виде произведения двух линейных множителей.
2. Итоговое упрощение
Таким образом, упрощенное выражение остается в следующем виде:
\[ \frac{-1(25x^2 - 20x + 74)}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Или, если вынести \(-1\) наружу, то:
\[ -\frac{25x^2 - 20x + 74}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Вывод
В конечном итоге мы получили упрощенное выражение:
\[ -\frac{25x^2 - 20x + 74}{(5x^2 + 3x + 12)(5x - 2)} \]
Если есть другие вопросы или интересует дальнейшая работа с этим выражением, просто дайте знать!
