дробь 7/5x²+3x-2 - дробь 5/5x-2 упростить выражение

Чтобы упростить выражение \(\frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x - 2}\), следуем пошаговым инструкциям.

Шаг 1: Найти общий знаменатель

Сначала определяем общий знаменатель двух дробей. В данном случае мы имеем два знаменателя:

• \(5x^2 + 3x - 2\)
• \(5x - 2\)

Общий знаменатель будет произведением этих двух выражений: \[ (5x^2 + 3x - 2)(5x - 2) \]

Шаг 2: Преобразовать каждую дробь

Теперь мы преобразуем каждую дробь так, чтобы они имели общий знаменатель.

1. Для первой дроби \(\frac{7}{5x^2 + 3x - 2}\): Чтобы добавить второй знаменатель, умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(5x - 2\): \[ \frac{7(5x - 2)}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \]

2. Для второй дроби \(\frac{5}{5x - 2}\): Чтобы добавить первый знаменатель, умножим числитель и знаменатель на \(5x^2 + 3x - 2\): \[ \frac{5(5x^2 + 3x - 2)}{(5x - 2)(5x^2 + 3x - 2)} \]

Шаг 3: Объединить дроби

Теперь у нас есть: \[ \frac{7(5x - 2)}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} - \frac{5(5x^2 + 3x - 2)}{(5x - 2)(5x^2 + 3x - 2)} \] Поскольку теперь у нас одинаковые знаменатели, мы можем это объединить: \[ \frac{7(5x - 2) - 5(5x^2 + 3x - 2)}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \]

Шаг 4: Упростить числитель

Теперь упростим числитель: \[ 7(5x - 2) = 35x - 14 \] \[ 5(5x^2 + 3x - 2) = 25x^2 + 15x - 10 \]

Теперь подставляем в числитель: \[ 35x - 14 - (25x^2 + 15x - 10) = 35x - 14 - 25x^2 - 15x + 10 \] Упростим это: \[ -25x^2 + (35x - 15x) + (-14 + 10) = -25x^2 + 20x - 4 \]

Шаг 5: Итоговое выражение

Теперь подставляем это обратно в дробь: \[ \frac{-25x^2 + 20x - 4}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \]

Шаг 6: Приведение к более простому виду (если возможно)

Можно вынести общий множитель из числителя. Заметим, что все коэффициенты кратны -1: \[ = \frac{-1(25x^2 - 20x + 4)}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \] При выражении \(25x^2 - 20x + 4\) стоит попробовать факторизовать его, но это может оказаться не очень просто. В данном случае проще оставить так.

Ответ

Таким образом, финальный ответ: \[ \frac{-25x^2 + 20x - 4}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \] или \[ \frac{-1(25x^2 - 20x + 4)}{(5x^2 + 3x - 2)(5x - 2)} \]

Если нужно провести дальнейшую факторизацию, дайте знать!