Реши по действиям с решением и с дано и с ответом десятичной дробью:1) Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий…

Задача 1: Приседания Вики

Дано:

1. В первый день Вика сделала 30 приседаний.
2. Каждый день она выполняла на одинаковое количество приседаний больше, чем в предыдущий.
3. За 15 дней она сделала 975 приседаний.

Найти:
Сколько приседаний сделала Вика в пятый день.

Решение:

1. Обозначим количество приседаний, которые Вика добавляет каждый день, как \( x \).

2. Тогда в записях по дням получится:

   • 1-й день: \( 30 \)
   • 2-й день: \( 30 + x \)
   • 3-й день: \( 30 + 2x \)
   • 4-й день: \( 30 + 3x \)
   • ...
   • 15-й день: \( 30 + 14x \)

3. Сумма всех приседаний за 15 дней: \[ S = 30 + (30 + x) + (30 + 2x) + ... + (30 + 14x) \] Можно преобразовать сумму: \[ S = 15 \cdot 30 + (0 + 1 + 2 + ... + 14)x \] Сумма первых 14 чисел равна: \[ \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105 \] Подставляем значение: \[ S = 450 + 105x \] Поскольку всего Вика сделала 975 приседаний, то: \[ 450 + 105x = 975 \]

4. Решаем уравнение: \[ 105x = 975 - 450 = 525 \] \[ x = \frac{525}{105} = 5 \]

5. Теперь можем найти, сколько приседаний она делала в пятый день: \[ \text{5-й день} = 30 + 4x = 30 + 4 \cdot 5 = 30 + 20 = 50 \]

Ответ: В пятый день Вика сделала 50 приседаний.

Задача 2: Места в кинозале

Дано:

1. В первом ряду 24 места.
2. В каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

Найти:
Сколько мест в восьмом ряду?

Решение:

1. Обозначим количество мест в первом ряду как \( a_1 = 24 \).

2. Поскольку в каждом следующем ряду на 2 места больше, то общее количество мест в \( n \)-ом ряду можно выразить: \[ a_n = 24 + 2(n - 1) \]

3. Подставляем \( n = 8 \) (восьмой ряд): \[ a_8 = 24 + 2(8 - 1) = 24 + 2 \cdot 7 = 24 + 14 = 38 \]

Ответ: В восьмом ряду 38 мест.

Геометрия: Площадь кругового сектора

Задача 1: Радиус 3, угол 120°

Дано:

• Радиус \( r = 3 \)
• Угол \( \theta = 120^\circ \)

Найти:
Площадь кругового сектора, деленная на число \(\pi\).

Решение:

1. Формула для площади кругового сектора: \[ S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2} \]

2. Приведем угол \( \theta \) к радианам: \[ \theta = 120^\circ = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \]

3. Подставляем в формулу: \[ S = \frac{3^2 \cdot \left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2} = \frac{9 \cdot \frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{9 \cdot 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \]

4. Площадь, деленная на \(\pi\): \[ \frac{S}{\pi} = \frac{3}{2} \]

Ответ: Площадь сектора равна \(\frac{3}{2}\).

Задача 2: Радиус 6, угол 120°

Дано:

• Радиус \( r = 6 \)
• Угол \( \theta = 120^\circ \)

Найти:
Площадь кругового сектора, деленная на число \(\pi\).

Решение:

1. Формула для площади кругового сектора: \[ S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2} \]

2. Как и ранее, угол в радианах: \[ \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \]

3. Подставляем значение радиуса в формулу: \[ S = \frac{6^2 \cdot \left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2} = \frac{36 \cdot \frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{36 \cdot 2\pi}{6} = 12\pi \]

4. Площадь, деленная на \(\pi\): \[ \frac{S}{\pi} = 12 \]

Ответ: Площадь сектора равна 12.