Скорость движения тела пропорционально квадрату времени. Найти уравнение движения, если известно, что за t секунд тело прошло Sсм. В начальный момент времени путь равен нулю:…

Чтобы решить задачу, начнем с того, что скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Мы можем выразить это следующим образом:

\[ v(t) = k \cdot t^2 \]

где \( v(t) \) — скорость в момент времени \( t \), а \( k \) — постоянная пропорциональности.

Скорость \( v(t) \) можно также выразить через производную пути \( S(t) \) по времени:

\[ v(t) = \frac{dS}{dt} \]

Таким образом, можем записать уравнение:

\[ \frac{dS}{dt} = k \cdot t^2 \]

Теперь интегрируем обе стороны уравнения по времени \( t \):

\[ S(t) = \int k \cdot t^2 \, dt \]

Решая этот интеграл, получим:

\[ S(t) = k \cdot \frac{t^3}{3} + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная. Поскольку в начальный момент времени путь \( S(0) = 0 \), мы можем определить \( C \):

\[ S(0) = k \cdot \frac{0^3}{3} + C = 0 \] Следовательно, \( C = 0 \). Таким образом, уравнение движения упрощается до:

\[ S(t) = k \cdot \frac{t^3}{3} \]

Теперь у нас есть уравнение пути, но нам нужно найти значение \( k \). Мы знаем, что за \( t = 33 \) секунды тело прошло \( S(33) = 18 \) см. Подставляем данные в уравнение:

\[ 18 = k \cdot \frac{33^3}{3} \]

Вычислим \( 33^3 \):

\[ 33^3 = 35937 \]

Теперь подставим это значение:

\[ 18 = k \cdot \frac{35937}{3} \] \[ 18 = k \cdot 11979 \]

Чтобы найти \( k \), делим обе стороны на \( 11979 \):

\[ k = \frac{18}{11979} \]

Теперь мы можем подставить значение \( k \) обратно в наше уравнение движения:

\[ S(t) = \frac{18}{11979} \cdot \frac{t^3}{3} \]

Упрощаем это уравнение:

\[ S(t) = \frac{6}{11979} \cdot t^3 \]

Таким образом, окончательное уравнение движения тела будет:

\[ S(t) = \frac{6}{11979} \cdot t^3 \]

Это уравнение показывает положение тела в зависимости от времени. Мы нашли его, следуя шагам от определения скорости через производную до интегрирования и использования начальных условий.