Чтобы решить задачу, начнем с того, что скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Мы можем выразить это следующим образом:
[
v(t) = k \cdot t^2
]
где ( v(t) ) — скорость в момент времени ( t ), а ( k ) — постоянная пропорциональности.
Скорость ( v(t) ) можно также выразить через производную пути ( S(t) ) по времени:
[
v(t) = \frac{dS}{dt}
]
Таким образом, можем записать уравнение:
[
\frac{dS}{dt} = k \cdot t^2
]
Теперь интегрируем обе стороны уравнения по времени ( t ):
[
S(t) = \int k \cdot t^2 , dt
]
Решая этот интеграл, получим:
[
S(t) = k \cdot \frac{t^3}{3} + C
]
где ( C ) — произвольная постоянная. Поскольку в начальный момент времени путь ( S(0) = 0 ), мы можем определить ( C ):
[
S(0) = k \cdot \frac{0^3}{3} + C = 0
]
Следовательно, ( C = 0 ). Таким образом, уравнение движения упрощается до:
[
S(t) = k \cdot \frac{t^3}{3}
]
Теперь у нас есть уравнение пути, но нам нужно найти значение ( k ). Мы знаем, что за ( t = 33 ) секунды тело прошло ( S(33) = 18 ) см. Подставляем данные в уравнение:
[
18 = k \cdot \frac{33^3}{3}
]
Вычислим ( 33^3 ):
[
33^3 = 35937
]
Теперь подставим это значение:
[
18 = k \cdot \frac{35937}{3}
]
[
18 = k \cdot 11979
]
Чтобы найти ( k ), делим обе стороны на ( 11979 ):
[
k = \frac{18}{11979}
]
Теперь мы можем подставить значение ( k ) обратно в наше уравнение движения:
[
S(t) = \frac{18}{11979} \cdot \frac{t^3}{3}
]
Упрощаем это уравнение:
[
S(t) = \frac{6}{11979} \cdot t^3
]
Таким образом, окончательное уравнение движения тела будет:
[
S(t) = \frac{6}{11979} \cdot t^3
]
Это уравнение показывает положение тела в зависимости от времени. Мы нашли его, следуя шагам от определения скорости через производную до интегрирования и использования начальных условий.
