Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»? Решить с помощью формулы Бернулли
Чтобы решить задачу с помощью формулы Бернулли, нам сначала нужно определить вероятность того, что стрелок поразит ровно три и ровно две мишени.
**Формула Бернулли** используется для нахождения вероятностей в ситуациях с независимыми испытаниями, где есть фиксированное количество попыток. В общем виде она выглядит следующим образом:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где:
- \(P(X = k)\) — вероятность того, что произойдёт ровно \(k\) успехов,
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\),
- \(n\) — общее количество испытаний,
- \(k\) — количество положительных исходов (успехов),
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании,
- \(1 - p\) — вероятность неуспеха в одном испытании.
### Условия задачи:
- Количество мишеней \(n = 5\).
- Вероятность поразить мишень за один выстрел \(p = 0.6\).
- Каждый мишень может быть поражён не более чем двумя выстрелами. Однако мы будем считать каждую мишень успешной, если за \(2\) выстрела хотя бы один будет успешен.
Если стрелок делает два выстрела на каждую мишень, то общее количество выстрелов составит \(10\) (по \(2\) выстрела на каждую из \(5\) мишеней).
### Расчет вероятности
1. **Вероятность поразить ровно три мишени (\(k = 3\))**:
Для события "поразить ровно три мишени" нам нужно, чтобы три из пяти мишеней были поражены хотя бы раз.
Вероятность того, что одна мишень будет поражена хотя бы раз:
\[
P(\text{поражена}) = 1 - P(\text{не поражена}) = 1 - (1 - 0.6)^2 = 1 - 0.4^2 = 1 - 0.16 = 0.84
\]
Таким образом, вероятность того, что одна мишень не поражена (т.е. выстрелов не удастся), равна \(0.16\).
Теперь мы можем найти вероятность того, что ровно три мишени поражены:
\[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.84)^3 \cdot (0.16)^{5-3}
\]
Вычислим биномиальный коэффициент и подставим значения:
\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10
\]
Теперь вычислим вероятности:
\[
P(X = 3) = 10 \cdot (0.84)^3 \cdot (0.16)^2
\]
\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.592704 \cdot 0.0256 \approx 0.151
\]
2. **Вероятность поразить ровно две мишени (\(k = 2\))**:
Аналогично находим вероятность того, что ровно две мишени будут поражены:
\[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.84)^2 \cdot (0.16)^{5 - 2}
\]
Вычислим биномиальный коэффициент:
\[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = 10
\]
Теперь подставим значения:
\[
P(X = 2) = 10 \cdot (0.84)^2 \cdot (0.16)^3
\]
\[
P(X = 2) = 10 \cdot 0.7056 \cdot 0.004096 \approx 0.0289
\]
### Соотношение вероятностей
Теперь можем найти, во сколько раз вероятность события "стрелок поразит ровно три мишени" больше вероятности события "стрелок поразит ровно две мишени":
\[
\text{Отношение} = \frac{P(X=3)}{P(X=2)} \approx \frac{0.151}{0.0289} \approx 5.22
\]
Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит ровно три мишени, в **примерно 5.22 раза** больше, чем вероятность того, что он поразит ровно две мишени.
