Реши
Для решения задачи находим наибольшее значение выражения \(-y^2 + 4y - 5\).
Анализ функции: \[ f(y) = -y^2 + 4y - 5 \] Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, открытая вниз (так как коэффициент при \(y^2\) отрицательный).
Поиск вершины параболы: Вершина параболы для функции вида \(f(y) = ay^2 + by + c\) находится в точке: \[ y_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} \] Здесь \(a = -1\), \(b = 4\).
Подставляем значения: \[ y_{\text{вершина}} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \]
Подсчет значения функции в вершине: Подставим \(y = 2\) в исходное выражение: \[ f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1 \]
Таким образом, наибольшее значение выражения \(-y^2 + 4y - 5\) равно \(-1\).
Теперь перейдем ко второй части задачи: упрощение выражения \((1-a)(1-a+a^2)+a^2(1+a)\).
Раскроем скобки в первом элементе: \[ (1-a)(1-a+a^2) = 1 \cdot (1-a+a^2) - a \cdot (1-a+a^2) \]
\[ = (1 - a + a^2) - (a - a^2 + a^3) \]
\[ = 1 - a + a^2 - a + a^2 - a^3 \]
\[ = 1 - 2a + 2a^2 - a^3 \]
Раскроем скобки во втором элементе: \[ a^2(1+a) = a^2 + a^3 \]
Сложим результаты: \[ 1 - 2a + 2a^2 - a^3 + a^2 + a^3 \]
При упрощении получаем: \[ 1 - 2a + 3a^2 \]
Таким образом, упрощенное выражение будет \(1 - 2a + 3a^2\).
