Решить задание по фото

Давайте решим эту задачу.

Задача состоит в том, чтобы найти \(\tan \alpha\), зная, что \(\cos \alpha = \frac{5\sqrt{29}}{29}\) и \(\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)\).

Шаги решения:

1. Используем тригонометрическую идентичность: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставляем \(\cos \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{25 \times 29}{29^2} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{25}{29} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{29} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{29}{29} - \frac{25}{29} = \frac{4}{29} \]

2. Найдём \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}} \] Поскольку \(\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)\), \(\sin \alpha\) положительно.

3. Вычислим \(\tan \alpha\) с использованием отношения \( \sin \) и \( \cos \): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{\sqrt{29}}}{\frac{5\sqrt{29}}{29}} \] Упрощаем: \[ \tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}} \times \frac{29}{5\sqrt{29}} = \frac{2 \times 29}{5 \times 29} = \frac{2}{5} \]

Таким образом, \(\tan \alpha = \frac{2}{5}\).

Ответ: \(\tan \alpha = \frac{2}{5}\).