{3х²-2у=1 {2х²-у²=1

Чтобы решить систему уравнений

\[ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases} \]

давайте перейдем к решению шаг за шагом.

Шаг 1: Выразим \( y \) из первого уравнения

Первое уравнение:

\[ 3x^2 - 2y = 1 \]

Мы можем выразить \( y \):

\[ -2y = 1 - 3x^2 \]

Теперь делим обе стороны на -2:

\[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \]

Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение

Теперь, когда мы нашли \( y \), мы можем подставить его во второе уравнение:

\[ 2x^2 - y^2 = 1 \]

Подставим \( y \):

\[ 2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Теперь упростим выражение:

\[ \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} = \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ 2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1 \]

Умножим всё на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4 \]

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все к одной стороне:

\[ -9x^4 + 14x^2 - 1 - 4 = 0 \]

Упрощаем:

\[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \]

Теперь перемножим на -1 для удобства:

\[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \]

Шаг 5: Замена переменной,

Обозначим \( z = x^2 \). Тогда уравнение может быть записано как:

\[ 9z^2 - 14z + 5 = 0 \]

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \]

Теперь найдем корни:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 4}{18} \]

Это дает два решения:

1. \( z_1 = \frac{18}{18} = 1 \)
2. \( z_2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)

Шаг 7: Найдем \( x^2 \) и затем \( x \)

Теперь возвращаемся к \( x \):

1. \( z_1 = 1 \) \( \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \) или \( x = -1 \)
2. \( z_2 = \frac{5}{9} \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3} \) или \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \)

Шаг 8: Найдем соответствующие \( y \)

Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение для \( y \):

1. Для \( x = 1 \):

\[ y = \frac{3(1^2) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

2. Для \( x = -1 \):

\[ y = \frac{3((-1)^2) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

3. Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \):

\[ y = \frac{3\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15 - 9}{9}}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{1}{3} \]

4. Для \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \) будет то же значение \( y = \frac{1}{3} \).

Итоговые решения

Таким образом, у нас есть четыре пары решений:

1. \( (1, 1) \)
2. \( (-1, 1) \)
3. \( \left(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right) \)
4. \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right) \)

Эти пары \( (x, y) \) решают данную систему уравнений.