{3х²-2у=1 {2х²-у²=1

Чтобы решить систему уравнений \[ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases} \] давайте перейдем к решению шаг за шагом. ### Шаг 1: Выразим \( y \) из первого уравнения Первое уравнение: \[ 3x^2 - 2y = 1 \] Мы можем выразить \( y \): \[ -2y = 1 - 3x^2 \] Теперь делим обе стороны на -2: \[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \] ### Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение Теперь, когда мы нашли \( y \), мы можем подставить его во второе уравнение: \[ 2x^2 - y^2 = 1 \] Подставим \( y \): \[ 2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Теперь упростим выражение: \[ \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} = \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} \] Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ 2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1 \] Умножим всё на 4, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 \] Теперь раскроем скобки: \[ 8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4 \] ### Шаг 4: Переносим все в одну сторону Переносим все к одной стороне: \[ -9x^4 + 14x^2 - 1 - 4 = 0 \] Упрощаем: \[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \] Теперь перемножим на -1 для удобства: \[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \] ### Шаг 5: Замена переменной, Обозначим \( z = x^2 \). Тогда уравнение может быть записано как: \[ 9z^2 - 14z + 5 = 0 \] ### Шаг 6: Решение квадратного уравнения Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \] Теперь найдем корни: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 4}{18} \] Это дает два решения: 1. \( z_1 = \frac{18}{18} = 1 \) 2. \( z_2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) ### Шаг 7: Найдем \( x^2 \) и затем \( x \) Теперь возвращаемся к \( x \): 1. \( z_1 = 1 \) \( \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \) или \( x = -1 \) 2. \( z_2 = \frac{5}{9} \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3} \) или \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \) ### Шаг 8: Найдем соответствующие \( y \) Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение для \( y \): 1. Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{3(1^2) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] 2. Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{3((-1)^2) - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] 3. Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \): \[ y = \frac{3\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15 - 9}{9}}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{1}{3} \] 4. Для \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \) будет то же значение \( y = \frac{1}{3} \). ### Итоговые решения Таким образом, у нас есть четыре пары решений: 1. \( (1, 1) \) 2. \( (-1, 1) \) 3. \( \left(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right) \) 4. \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}\right) \) Эти пары \( (x, y) \) решают данную систему уравнений.