Для решения данной задачи мы сначала рассмотрим известные данные, а затем применим формулу для вычисления среднего арифметического. Давайте пошагово разберёмся, как это сделать.
Данные из задачи
У нас есть следующие значения и частоты:
- Значение 11 — частота ( x ) (неизвестная)
- Значение 14 — частота 2
- Значение 16 — частота 3
- Значение 19 — частота 7
Шаг 1: Записать уравнение для среднего значения
Среднее значение вычисляется по формуле:
[
\text{Среднее} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{\sum n_i}
]
где:
- ( x_i ) — значение,
- ( n_i ) — соответствующая частота.
Шаг 2: Подставить известные значения
Из задачи известно, что среднее значение равно 14,85. Подставим известные значения и частоты в уравнение:
[
14,85 = \frac{(11 \cdot x) + (14 \cdot 2) + (16 \cdot 3) + (19 \cdot 7)}{x + 2 + 3 + 7}
]
Теперь рассчитаем, что можем извести:
- ( 14 \cdot 2 = 28 )
- ( 16 \cdot 3 = 48 )
- ( 19 \cdot 7 = 133 )
Таким образом, подставляем в уравнение:
[
14,85 = \frac{(11 \cdot x) + 28 + 48 + 133}{x + 12}
]
[
14,85 = \frac{(11 \cdot x) + 209}{x + 12}
]
Шаг 3: Упростить уравнение
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( x + 12 ) чтобы избавиться от знаменателя:
[
14,85(x + 12) = 11x + 209
]
Раскроем скобки:
[
14,85x + 178,2 = 11x + 209
]
Шаг 4: Переносим все ( x ) в одну сторону
Всё, что связано с ( x ), перенесём в одну сторону, а свободные числа – в другую:
[
14,85x - 11x = 209 - 178,2
]
[
3,85x = 30,8
]
Шаг 5: Получаем значение ( x )
Теперь поделим обе стороны уравнения на 3,85, чтобы найти ( x ):
[
x = \frac{30,8}{3,85} \approx 8
]
Ответ
Таким образом, неизвестная частота значения 11 равна 8.
Проверка
Давайте быстро проверим: если ( x = 8 ):
- Общее число элементов: ( 8 + 2 + 3 + 7 = 20 )
- Сумма значений: ( 11 \cdot 8 + 14 \cdot 2 + 16 \cdot 3 + 19 \cdot 7 = 88 + 28 + 48 + 133 = 297 )
Среднее значение:
[
\text{Среднее} = \frac{297}{20} = 14,85
]
Мы видим, что результирующее среднее значение совпадает с данными задачи. Таким образом, всё верно!
