реши

Чтобы решить систему уравнений, давайте рассмотрим:

Система уравнений:

1. \( y = x^2 + 2x - 1 \) (парабола)

2. \( y = 3x + 1 \) (прямая)

3. Графический метод:

   Нарисуем графики обоих уравнений на одном координатном поле.

   • Парабола: \( y = x^2 + 2x - 1 \)

     • Найдем вершину параболы. Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \).
     • В нашем случае: \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \).
     • \( x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).
     • Подставим \( x = -1 \) в уравнение для нахождения \( y \): \[ y = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \]
     • Вершина параболы: \( (-1, -2) \).

   • Прямая: \( y = 3x + 1 \)

     • Это линейная функция с угловым коэффициентом \( 3 \) и начальным значением \( 1 \).

4. Аналитический метод:

   Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений: \[ x^2 + 2x - 1 = 3x + 1 \]

   Упростим: \[ x^2 + 2x - 1 - 3x - 1 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

   Решим квадратное уравнение: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

   Корни уравнения: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]

   Найдем соответствующие значения \( y \):

   • Для \( x = 2 \): \[ y = 3(2) + 1 = 7 \] Точка: \( (2, 7) \).

   • Для \( x = -1 \): \[ y = 3(-1) + 1 = -2 \] Точка: \( (-1, -2) \).

Ответ:

Система уравнений имеет решения в точках пересечения:

• \( (2, 7) \)
• \( (-1, -2) \)

Эти точки являются решениями системы уравнений.