Решим обе задачи по очереди, с пошаговыми объяснениями.
Задача 1
Дано:
- Ученик изготовляет 231 деталь.
- Мастер изготовляет 462 детали.
- Ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер.
- Ученик делает на 4 детали в час меньше, чем мастер.
Обозначим:
- Пусть ( x ) — количество деталей в час, которые делает ученик.
- Пусть ( y ) — количество деталей в час, которые делает мастер.
Из условия задачи:
- ( y = x + 4 ) (ученик делает на 4 детали меньше, чем мастер).
- Время, которое тратит ученик на изготовление 231 детали: ( \frac{231}{x} ).
- Время, которое тратит мастер на изготовление 462 деталей: ( \frac{462}{y} ).
- Ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер:
[
\frac{231}{x} = \frac{462}{y} + 11
]
Подставим ( y ) в уравнение:
[
\frac{231}{x} = \frac{462}{x + 4} + 11
]
Теперь умножим обе части уравнения на ( x(x + 4) ), чтобы избавиться от дробей:
[
231(x + 4) = 462x + 11x(x + 4)
]
[
231x + 924 = 462x + 11x^2 + 44x
]
[
231x + 924 = 462x + 11x^2 + 44x
]
[
231x + 924 = 506x + 11x^2
]
[
0 = 11x^2 + 275x - 924
]
Решим квадратное уравнение:
[
11x^2 + 275x - 924 = 0
]
Теперь используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 275^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-924)
]
[
D = 75625 + 40536 = 116161
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-275 \pm 341}{22}
]
Находим два возможных значения:
- ( x = \frac{66}{22} = 3 )
- ( x = \frac{-616}{22} ) (не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным).
Ответ: Ученик делает 3 детали в час.
Задача 2
Дано:
- Первая труба пропускает на 2 литра в минуту меньше, чем вторая.
- Резервуар объемом 130 литров заполняется второй трубой на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 136 литров.
Обозначим:
- Пусть ( x ) — количество литров в минуту, которое пропускает вторая труба.
- Тогда первая труба пропускает ( x - 2 ) литра в минуту.
Время заполнения резервуара:
- Время, необходимое второй трубе на заполнение 130 литров:
[
\frac{130}{x}
]
- Время, необходимое первой трубе на заполнение 136 литров:
[
\frac{136}{x - 2}
]
Из условия задачи:
[
\frac{130}{x} + 4 = \frac{136}{x - 2}
]
Решим это уравнение:
Умножим обе стороны на ( x(x - 2) ):
[
130(x - 2) + 4x(x - 2) = 136x
]
[
130x - 260 + 4x^2 - 8x = 136x
]
Соберем все слагаемые в одну сторону:
[
4x^2 - 14x - 260 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-260) = 196 + 4160 = 4356
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{14 \pm \sqrt{4356}}{8}
]
[
x = \frac{14 \pm 66}{8}
]
Находим два возможных значения:
- ( x = \frac{80}{8} = 10 ) (вторая труба)
- ( x = \frac{-52}{8} ) (не подходит).
Ответ: Вторая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Если есть еще вопросы или задачи, не стесняйтесь обращаться!
