Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберемся, как это сделать, шаг за шагом.
Шаг 1: Находим площадь основания
Основание пирамиды — это правильный треугольник со стороной 7 м. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
]
где ( a ) — длина стороны треугольника.
Подставим ( a = 7 ) м:
[
S = \frac{7^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{49 \sqrt{3}}{4} \approx 21.224 m^2
]
Шаг 2: Находим высоту пирамиды
Из условия задачи нам известно, что боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Это боковое ребро также является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды и половиной основания.
Обозначим:
- ( h ) — высота пирамиды,
- ( l ) — длина бокового ребра (гипотенузы),
- Половина стороны основания (основание прямоугольного треугольника) равна ( \frac{7}{2} = 3.5 ) м.
Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, можем выразить высоту ( h ) через ( l ) и угол 30°:
[
\sin(30^\circ) = \frac{h}{l} \quad \Rightarrow \quad h = l \cdot \sin(30^\circ) = l \cdot \frac{1}{2}
]
Теперь найдем выражение для нахождения ( l ). В некотором треугольнике с углом 30° высота можно найти через основание:
[
\cos(30^\circ) = \frac{\frac{7}{2}}{l}
]
При этом:
[
l = \frac{\frac{7}{2}}{\cos(30^\circ)} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.041 m
]
Теперь, подставляем ( l ) в формулу для высоты:
[
h = \frac{l}{2} = \frac{4.041}{2} \approx 2.020 m
]
Шаг 3: Находим объем пирамиды
Объем ( V ) правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:
[
V = \frac{S \cdot h}{3}
]
Подставляем значения площади и высоты:
[
V = \frac{21.224 \cdot 2.020}{3} \approx \frac{42.845}{3} \approx 14.282 m^3
]
Ответ
Объем правильной треугольной пирамиды составляет примерно ( 14.282 , \text{м}^3 ).
