Дан треугольник АВС. AC = 31,8 см;угол B = 45°, угол C = 60 Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.) Ответ: AВ = СМ.

Чтобы найти сторону AB в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему синусов. Начнем с того, что мы знаем: - \( AC = 31,8 \) см - угол \( B = 45^\circ \) - угол \( C = 60^\circ \) 1. **Находим угол A:** Сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \] 2. **Записываем теорему синусов:** Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где: - \( a = BC \) - \( b = AC \) - \( c = AB \) Для нашей задачи: \[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \] 3. **Подставляем известные значения:** Нам нужно найти \( AB \) (обозначим его как \( c \)): \[ \frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{31,8}{\sin 60^\circ} \] 4. **Вычисляем синусы:** - \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) - \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 5. **Теперь подставляем значения в уравнение:** \[ \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{31,8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] 6. **Упрощаем уравнение:** Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \): \[ c = 31,8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ c = 31,8 \cdot \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{3}} = \frac{31,8(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} \] 7. **Теперь упрощаем \( 31,8 \):** Можно записать \( 31,8 = \frac{159}{5} \), и затем подставить это значение: \[ AB = \frac{159(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{10\sqrt{3}} \] Теперь нужно дать ответ в наименьшем натуральном числе под знаком корня: - Определим числитель: \( 159(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) - Введем приближенные значения для \( \sqrt{6} \) и \( \sqrt{2} \): - \( \sqrt{6} \approx 2.45 \) - \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) Подсчитаем: \[ \sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 3.86 \] Что дает: \[ AB \approx \frac{159 \cdot 3.86}{10\sqrt{3}} \approx \frac{613.14}{17.32} \approx 35.4 \] Округляем до ближайшего натурального числа под корнем, получаем: \[ AB \approx 35. \] Таким образом, ответ: \[ AB \approx 35 \text{ см.} \]