Дан треугольник АВС. AC = 31,8 см;угол B = 45°, угол C = 60 Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.) Ответ: AВ = СМ.
Чтобы найти сторону AB в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему синусов. Начнем с того, что мы знаем:
- \( AC = 31,8 \) см
- угол \( B = 45^\circ \)
- угол \( C = 60^\circ \)
Находим угол A: Сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]
Записываем теорему синусов: Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где:
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)
Для нашей задачи: \[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \]
Подставляем известные значения: Нам нужно найти \( AB \) (обозначим его как \( c \)): \[ \frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{31,8}{\sin 60^\circ} \]
Вычисляем синусы:
- \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
- \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Теперь подставляем значения в уравнение: \[ \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{31,8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
Упрощаем уравнение: Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \): \[ c = 31,8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ c = 31,8 \cdot \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{3}} = \frac{31,8(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} \]
Теперь упрощаем \( 31,8 \): Можно записать \( 31,8 = \frac{159}{5} \), и затем подставить это значение: \[ AB = \frac{159(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{10\sqrt{3}} \]
Теперь нужно дать ответ в наименьшем натуральном числе под знаком корня:
- Определим числитель: \( 159(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \)
- Введем приближенные значения для \( \sqrt{6} \) и \( \sqrt{2} \):
- \( \sqrt{6} \approx 2.45 \)
- \( \sqrt{2} \approx 1.41 \)
Подсчитаем: \[ \sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 3.86 \] Что дает: \[ AB \approx \frac{159 \cdot 3.86}{10\sqrt{3}} \approx \frac{613.14}{17.32} \approx 35.4 \]
Округляем до ближайшего натурального числа под корнем, получаем: \[ AB \approx 35. \]
Таким образом, ответ: \[ AB \approx 35 \text{ см.} \]
