Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 deg 45 deg 60°? Ответ обоснуйте

Давайте разберемся с значениями синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. Эти значения часто используются в тригонометрии, и их можно легко запомнить.

Угловые значения

1. Синус (sin) угла — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике.
2. Косинус (cos) угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
3. Тангенс (tan) угла — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета, или тангенс можно выразить через синус и косинус: \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \).

Теперь давайте найдем значения для заданных углов.

1. Угол 30°:

• \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \)
• \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan(30°) = \frac{\sin(30°)}{\cos(30°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \)

2. Угол 45°:

• \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan(45°) = \frac{\sin(45°)}{\cos(45°)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \)

3. Угол 60°:

• \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
• \( \tan(60°) = \frac{\sin(60°)}{\cos(60°)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \)

Итого

Вот значения синуса, косинуса и тангенса для данных углов:

Для 30°:

• \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \)
• \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Для 45°:

• \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan(45°) = 1 \)

Для 60°:

• \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
• \( \tan(60°) = \sqrt{3} \)

Объяснение

Эти значения происходят из соотношений в равнобедренных треугольниках и прямоугольных треугольниках с углом в 30°, 45° и 60°. Используя эти отношения, можно понять, как тригонометрические функции работают с углами, что впоследствии упростит решение более сложных задач в тригонометрии.