В треугольнике ABC известно,что AC=BC,AB=3 корней из 10 и высота AH=3. Найдите tg угла BAC

Для решения задачи найдём тангенс угла \( \angle BAC \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AC = BC \), \( AB = 3\sqrt{10} \), и высота \( AH = 3 \).

Шаг 1: Понимание треугольника

• У нас есть равнобедренный треугольник, где \( AC = BC \).
• Поскольку \( AH \) — это высота, она делит основание \( BC \) пополам, то есть \( BH = HC \).
• Высота также является линией, перпендикулярной к основанию.

Шаг 2: Определение сторон

Обозначим:

• \( AB = c = 3\sqrt{10} \)
• Пусть \( BH = HC = x \), тогда \( BC = 2x \).

Шаг 3: Использование теоремы Пифагора

В треугольнике \( ABH \): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Подставим известные значения: \[ (3\sqrt{10})^2 = 3^2 + x^2 \] \[ 90 = 9 + x^2 \] \[ x^2 = 90 - 9 = 81 \] \[ x = \sqrt{81} = 9 \]

Шаг 4: Находим длину стороны \( BC \)

Теперь воспользуемся найденным \( x \) для нахождения длины \( BC \): \[ BC = 2x = 2 \cdot 9 = 18 \]

Шаг 5: Находим \( \tan(\angle BAC) \)

Для нахождения \( \tan(\angle BAC) \) воспользуемся определением тангенса: \[ \tan(\angle BAC) = \frac{AH}{BH} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Итог

Мы нашли тангенс угла \( BAC \): \[ \tan(\angle BAC) = \frac{1}{3} \]

Таким образом, ответ на задачу: \( \tan(\angle BAC) = \frac{1}{3} \).