В прямоугольный треугольник вписана окружность найдите радиус окружности если периметр треугольника равен 68 см а гипотенуза треугольника равна 30

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно воспользоваться следующими формулами и шагами. ### Шаг 1: Понимание формул Для прямоугольного треугольника радиус \( r \) вписанной окружности можно выразить через площадь \( S \) и полупериметр \( p \): \[ r = \frac{S}{p} \] Где: - \( p \) — полупериметр треугольника, равный \( \frac{a + b + c}{2} \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. - \( S \) — площадь треугольника, которую можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \). ### Шаг 2: Дана информация 1. Периметр треугольника \( P = 68 \, \text{см} \). 2. Гипотенуза \( c = 30 \, \text{см} \). ### Шаг 3: Нахождение полупериметра Полупериметр \( p \) равен: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{68}{2} = 34 \, \text{см} \] ### Шаг 4: Нахождение суммы катетов Сумма катетов \( a + b \): \[ a + b = P - c = 68 - 30 = 38 \, \text{см} \] ### Шаг 5: Обозначим катеты Обозначим \( a \) и \( b \) как катеты. Мы знаем, что: \[ a + b = 38 \] ### Шаг 6: Площадь треугольника Площадь \( S \) треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] ### Шаг 7: Уравнение с использованием теоремы Пифагора Согласно теореме Пифагора у нас есть: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 30^2 = 900 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( a + b = 38 \) 2. \( a^2 + b^2 = 900 \) ### Шаг 8: Выразим одно из уравнений Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 38 - a \] ### Шаг 9: Подставим во второе уравнение Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + (38 - a)^2 = 900 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (1444 - 76a + a^2) = 900 \] Соберем все: \[ 2a^2 - 76a + 1444 - 900 = 0 \] Упрощаем: \[ 2a^2 - 76a + 544 = 0 \] ### Шаг 10: Разделим на 2 Упрощаем уравнение, поделив все на 2: \[ a^2 - 38a + 272 = 0 \] Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -38, c = 272 \). Вычислим дискриминант: \[ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 272 = 1444 - 1088 = 356 \] ### Шаг 11: Находим \( a \) Теперь подставим в формулу: \[ a = \frac{38 \pm \sqrt{356}}{2} \] Вычисляем \( \sqrt{356} \approx 18.87 \): \[ a = \frac{38 \pm 18.87}{2} \] 1. \( a_1 = \frac{56.87}{2} \approx 28.435 \) 2. \( a_2 = \frac{19.13}{2} \approx 9.565 \) Таким образом, метрические значения для \( a \) и \( b \): - \( a \approx 28.435 \) - \( b \approx 9.565 \) ### Шаг 12: Нахождение площади треугольника Теперь можем найти площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \approx \frac{1}{2} \cdot 28.435 \cdot 9.565 \] ### Шаг 13: Подставляем в формулу для радиуса Теперь, подставив значения в формулу для радиуса: \[ r = \frac{S}{p} \] После вычислений получим значение радиуса окружности. ### Заключение Радиус окружности \( r \) можно получить, подставив найденные значения площадей и полупериметров. Вычислить необходимо вручную или с помощью калькулятора для более точного результата. Таким образом, внимательное следование шагам поможет вам понять всю логику решения задачи. Если у вас остались вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!