Чтобы найти угол между ребрами пирамиды (AB) и (BC), сначала находим векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC}), затем используем скалярное произведение для вычисления косинуса угла между этими векторами.
Шаг 1: Найти векторы
Для начала нужно определить векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC}).
Вектор (\overrightarrow{AB}):
[
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 4 - 3, 6 - 1) = (-2, 1, 5)
]
Вектор (\overrightarrow{BC}):
[
\overrightarrow{BC} = C - B = (-2 + 1, -3 - 4, 4 - 6) = (-1, -7, -2)
]
Шаг 2: Найти скалярное произведение (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC})
Скалярное произведение:
[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-7) + 5 \cdot (-2) = 2 - 7 - 10 = -15
]
Шаг 3: Найти длины векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BC})
Длина вектора (\overrightarrow{AB}):
[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}
]
Длина вектора (\overrightarrow{BC}):
[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 49 + 4} = \sqrt{54}
]
Шаг 4: Найти косинус угла между векторами
Косинус угла (\theta) между векторами:
[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{54}}
]
Теперь вычисляем (\sqrt{30} \cdot \sqrt{54}):
[
\sqrt{30} \cdot \sqrt{54} = \sqrt{30 \times 54} = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \cdot 5} = 18\sqrt{5}
]
Подстановкой:
[
\cos \theta = \frac{-15}{18\sqrt{5}}
]
Упрощаем:
[
\cos \theta = \frac{-15}{18\sqrt{5}} = \frac{-5}{6\sqrt{5}} = \frac{-5\sqrt{5}}{30}
]
Шаг 5: Найти угол
Рассчитываем (\theta) с помощью (\arccos):
[
\theta = \arccos\left(\frac{-5\sqrt{5}}{30}\right)
]
Это будет угол между ребрами AB и BC.
