Даны координаты вершин пирамиды ABCD. A(1,3,1), B(-1,4,6), C(-2,-3,4), D(3,4,-4). Вычислить угол между ребрами пирамиды ABиBC

Чтобы найти угол между ребрами пирамиды \(AB\) и \(BC\), сначала находим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), затем используем скалярное произведение для вычисления косинуса угла между этими векторами.

Шаг 1: Найти векторы

Для начала нужно определить векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 4 - 3, 6 - 1) = (-2, 1, 5) \]

Вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 + 1, -3 - 4, 4 - 6) = (-1, -7, -2) \]

Шаг 2: Найти скалярное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\)

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-7) + 5 \cdot (-2) = 2 - 7 - 10 = -15 \]

Шаг 3: Найти длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\)

Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \]

Длина вектора \(\overrightarrow{BC}\): \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 49 + 4} = \sqrt{54} \]

Шаг 4: Найти косинус угла между векторами

Косинус угла \(\theta\) между векторами: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{54}} \]

Теперь вычисляем \(\sqrt{30} \cdot \sqrt{54}\): \[ \sqrt{30} \cdot \sqrt{54} = \sqrt{30 \times 54} = \sqrt{1620} = \sqrt{324 \cdot 5} = 18\sqrt{5} \]

Подстановкой: \[ \cos \theta = \frac{-15}{18\sqrt{5}} \]

Упрощаем: \[ \cos \theta = \frac{-15}{18\sqrt{5}} = \frac{-5}{6\sqrt{5}} = \frac{-5\sqrt{5}}{30} \]

Шаг 5: Найти угол

Рассчитываем \(\theta\) с помощью \(\arccos\): \[ \theta = \arccos\left(\frac{-5\sqrt{5}}{30}\right) \]

Это будет угол между ребрами AB и BC.