Чтобы найти значение (\cos 15^\circ), мы можем воспользоваться формулой для косинуса разности:
[
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ)
]
Формула для косинуса разности углов выглядит так:
[
\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
]
Подставим в эту формулу известные углы (a = 45^\circ) и (b = 30^\circ):
[
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ) \cos(30^\circ) + \sin(45^\circ) \sin(30^\circ)
]
Теперь подставим значения тригонометрических функций:
- (\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2})
- (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2})
- (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2})
- (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2})
Подставим эти значения в выражение:
[
\cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)
]
[
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
]
[
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
]
Таким образом, (\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}).
