4 вариант с графиками

Для решения 4-го варианта выполним следующие шаги.

1. Построить график функции \( y = x^2 - 3x + 4 \)

Это квадратичная функция, график которой является параболой. Найдём координаты вершины параболы и точки пересечения с осями.

Коэффициенты уравнения:

\( a = 1, \, b = -3, \, c = 4 \)

Вершина параболы:

Координаты вершины \((x_v, y_v)\) находятся по формулам: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = \frac{4ac - b^2}{4a} \]

Подставим значения: \[ x_v = -\frac{-3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} \] \[ y_v = \frac{4 \times 1 \times 4 - (-3)^2}{4 \times 1} = \frac{16 - 9}{4} = \frac{7}{4} \]

Вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)\).

Пересечение с осью Oy:

Подставляем \( x = 0 \): \[ y = 0^2 - 3 \times 0 + 4 = 4 \]

Точка пересечения \((0, 4)\).

Пересечение с осью Ox:

Решаем уравнение \( x^2 - 3x + 4 = 0 \) через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7 \]

Дискриминант отрицательный, значит пересечений с осью Ox нет.

2. Построить график неравенства \( y \geq 7x - 8 \)

Это неравенство описывает полуплоскость относительно прямой \( y = 7x - 8 \). Построим прямую и затем выберем часть плоскости над ней.

Пересечение с осью Oy:

Подставляем \( x = 0 \): \[ y = 7 \times 0 - 8 = -8 \]

Точка пересечения \((0, -8)\).

Пересечение с осью Ox:

Подставляем \( y = 0 \): \[ 0 = 7x - 8 \] \[ 7x = 8 \] \[ x = \frac{8}{7} \]

Точка пересечения \(\left(\frac{8}{7}, 0\right)\).

Чертим прямую и заштриховываем область выше неё.

3. Построить график неравенства \( y \leq -x^2 + 2x + 4 \)

График выражений вида \( y \leq ax^2 + bx + c \) представляет собой параболу, и область ниже нее.

Коэффициенты уравнения:

\( a = -1, \, b = 2, \, c = 4 \)

Вершина параболы:

Координаты вершины \((x_v, y_v)\) по формулам: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = \frac{4ac - b^2}{4a} \]

Подставим значения: \[ x_v = -\frac{2}{2 \times -1} = 1 \] \[ y_v = \frac{4 \times (-1) \times 4 - 2^2}{4 \times (-1)} = \frac{-16 - 4}{-4} = 5 \]

Вершина параболы \((1, 5)\).

Пересечение с осью Oy:

\( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \times 0 + 4 = 4 \]

Точка \((0, 4)\).

Пересечение с осью Ox:

Решаем уравнение \(-x^2 + 2x + 4 = 0\): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 4 = 4 + 16 = 20 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{-2} = 1 \pm \sqrt{5} \]

Это точки пересечения с Ox.

В итоге

Построен график \( y = x^2 - 3x + 4 \), и области, определяемые неравенствами \( y \geq 7x - 8 \) и \( y \leq -x^2 + 2x + 4 \).