Для решения задачи будем использовать формулу Бернулли, которая применяется в случаях, когда у нас есть заданное количество попыток (в данном случае — выстрелов), и нам нужно узнать вероятность определенного количества успехов (поразить мишень).
Дано:
- Количество мишеней (n) = 7
- Сколько выстрелов на одну мишень (k) ≤ 2
- Вероятность успеха (p) = 0.6
- Вероятность неудачи (q) = 1 - p = 0.4
Поскольку на каждую мишень дается не более двух выстрелов, тогда число успешных попаданий (то есть количество мишеней, которые стрелок поразил) будет зависеть от реализованных выстрелов. Всего стрелок сделает 14 (7 мишеней * 2 выстрела) выстрелов.
Теперь необходимо использовать формулу Бернулли для нахождения вероятностей поразить ровно 3 и 2 мишени.
Формула Бернулли:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где (C(n, k)) — число сочетаний, равное
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Для нашей задачи, (n) — количество попыток (в данном случае поразить мишени), а (k) — количество успешных попаданий.
Шаг 1: Вероятность поразить ровно 3 мишени
Сначала найдем количество способов поразить ровно 3 мишени:
Количество сочетаний: (C(7, 3))
[
C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
]
Вероятность попадания в 3 мишени:
[
p^3 = 0.6^3 = 0.216
]
Вероятность промаха в 4 мишенях: (т.к. 7 - 3 = 4)
[
q^4 = 0.4^4 = 0.0256
]
Теперь можем вычислить общую вероятность поразить ровно 3 мишени:
[
P(X = 3) = C(7, 3) \cdot p^3 \cdot q^4 = 35 \cdot 0.216 \cdot 0.0256 \approx 0.19273792
]
Шаг 2: Вероятность поразить ровно 2 мишени
Теперь найдем вероятность поразить ровно 2 мишени:
Количество сочетаний: (C(7, 2))
[
C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21
]
Вероятность попадания в 2 мишени:
[
p^2 = 0.6^2 = 0.36
]
Вероятность промаха в 5 мишенях: (т.к. 7 - 2 = 5)
[
q^5 = 0.4^5 = 0.01024
]
Теперь можем вычислить общую вероятность:
[
P(X = 2) = C(7, 2) \cdot p^2 \cdot q^5 = 21 \cdot 0.36 \cdot 0.01024 \approx 0.07738848
]
Шаг 3: Отношение вероятностей
Теперь найдем, во сколько раз вероятность поразить ровно 3 мишени больше, чем вероятность поразить ровно 2 мишени:
[
\frac{P(X = 3)}{P(X = 2)} = \frac{0.19273792}{0.07738848} \approx 2.48
]
Ответ
Вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» примерно в 2.48 раза больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени».
