Y = (x+ 1) (12+ 7x +12) x+3 Постройте график функции И определите, при каких значениях т прямая У = Тимеет с графиком ровно одну общую точку.
Для построения графика функции \( Y = \frac{(x + 1)(12 + 7x + 12)}{x + 3} \), начнем с упрощения функции.
Упростим выражение в числителе: \[ 12 + 7x + 12 = 7x + 24 \] Таким образом, мы можем записать функцию как: \[ Y = \frac{(x + 1)(7x + 24)}{x + 3} \]
Для нахождения множителей в уравнении распишем числитель: \[ (x + 1)(7x + 24) = 7x^2 + 24x + 7x + 24 = 7x^2 + 31x + 24 \] Затем, в итоге получение функции будет: \[ Y = \frac{7x^2 + 31x + 24}{x + 3} \]
Теперь мы можем анализировать функцию, выясняя, при каких значениях \( t \) прямая \( Y = t \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Для нахождения условий касания:
Прямая будет касаться графика функции в точке, если система уравнений \( Y = t \) и \( Y = \frac{(x + 1)(7x + 24)}{x + 3} \) имеет ровно одно решение. Это произойдет, если уравнение имеет ровно один корень или у нас есть параллельные касательные.
Для нахождения этих значений часто используется метод discriminant (дискриминанта).
Подставляем \( t \) в функцию: \[ \frac{7x^2 + 31x + 24}{x + 3} = t \] Умножим обе стороны на \( x + 3 \): \[ 7x^2 + 31x + 24 = t(x + 3) \] Тогда получаем: \[ 7x^2 + (31 - t)x + (24 - 3t) = 0 \]
Теперь находим дискриминант: \[ D = (31 - t)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (24 - 3t) \] Устанавливаем условие дискриминанта равным нулю, чтобы у нас было ровно одно решение: \[ (31 - t)^2 - 28(24 - 3t) = 0 \]
Упростим: \[ (31 - t)^2 = 28(24 - 3t) \] Раскроем скобки и приведем все к одному уравнению: \[ 961 - 62t + t^2 = 672 - 84t \] Это упрощается до: \[ t^2 + 22t + 289 = 0 \]
Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения: \[ D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 289 = 484 - 1156 = -672 \] Поскольку дискриминант меньше нуля, это означает, что у уравнения нет действительных корней. Следовательно, прямая \( Y = t \) не пересекает график функции.
Вывод:
В данном случае прямая не может иметь ровно одно касательное пересечение с графиком функции. Мы можем сделать вывод, что для любых значений \( t \) прямая будет либо выше, либо ниже графика.
