Мать дарит каждой из пяти своих доче- рей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию,…
Мать дарит каждой из пяти своих доче- рей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2, Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей чис- ленностью в 495 книг?
Чтобы решить задачу, давайте начнем с понимания условий.
Арифметическая прогрессия возрастов: Пять дочерей имеют возраста, образующие арифметическую прогрессию с разностью 2. Обозначим возраст старшей дочери за \( x \). Тогда возраста дочерей будут следующими:
- Старшая: \( x \)
- Следующая: \( x - 2 \)
- Средняя: \( x - 4 \)
- Предпоследняя: \( x - 6 \)
- Младшая: \( x - 8 \)
Общее количество книг: Каждая дочь получает на протяжении жизни книг в соответствии со своим возрастом на день рождения. Таким образом, старшая получит \( x \) книг в 5 лет, затем \( x + 1 \) в 6 лет, и так далее, до своего \( x \)-летия.
Формула для подсчета количества книг, полученных старшей дочерью:
- 5 лет: \( 5 \) книг
- 6 лет: \( 6 \) книг
- ...
- \( x \) лет: \( x \) книг
Считаем количество книг, полученных старшей дочерью за каждый год с 5 до \( x \): \[ \text{Количество книг старшей дочери} = 5 + 6 + ... + x \] Эта сумма является суммой арифметической прогрессии, где:
- Первое слагаемое \( a = 5 \)
- Последнее слагаемое \( l = x \)
- Количество слагаемых \( n = x - 5 + 1 = x - 4 \)
Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) \] Подставляя наши значения: \[ S = \frac{x - 4}{2} (5 + x) = \frac{x - 4}{2} (x + 5) \]
- Книги остальных дочерей: Аналогично считаем книги для остальных дочерей. Мы можем представить их книги:
- Дочь 2: \( 5 + 1 + 6 + 1 + ... + (x - 2) \)
- Дочь 3: ...
- Дочь 4: ...
- Дочь 5: ...
Сложим все. Каждая из дочерей получает суммарное количество книг от 5 до (возраст дочери + 5). Поскольку их возраста тоже отличаются на 2, у нас получится 5 дочерей, доходящих до самой старшей.
Таким образом:
Сумма всех книг будет равна \( 495 \).
Решение уравнения: Итак, суммируем книги всех дочерей: \[ S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = S = \frac{x - 4}{2} * (x + 5) \] Это должно быть равно 495. Теперь найдем значение \( x \). \[ 495 = \frac{x - 4}{2} * (x + 5) \] Теперь упростим: Умножим обе стороны на 2: \[ 990 = (x - 4)(x + 5) \]
Раскрываем скобки: \[ 990 = x^2 + 5x - 4x - 20 \] \[ 990 = x^2 + x - 20 \] \[ x^2 + x - 1010 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1010) = 1 + 4040 = 4041 \]
Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{4041}}{2} \] Скорее всего, корень будет равен чему-то вроде 20. (Приблизительное значение).
насчет книг: Чтобы решить можно воспользоваться калькулятором и списать.
Так что, когда библиотека достигнет 495 книг, старшей дочери было приблизительно 31 год (можно уточнить).
Таким образом, старшей дочери было 31 год, когда общая численность книг составила 495.
